Coniche

[A.l.e.c.s]

Assegnata nel piano euclideo l’iperbole \(\displaystyle x^2 − 4y^2 + 2x + 1 = 0 \) , determinarne il centro e gli asintoti.

Facendo la matrice delle coniche e facendo i calcoli , il determinante mi viene \(\displaystyle 0 \) il rango \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle \alpha_{00} \) \(\displaystyle < \) \(\displaystyle 0 \) perciò l'iperbole risulta degenere, quindi non può avere nè centro nè asintoti..ma nel risultato c'è sia il centro che l'asintoto. Come dovrei interpretarla a questo punto ? considerarla generale?questa mi sembra l'unica soluzione visto che per una degenere non posso calcolare altro che le rette che la descrivono..Grazie

[Mrhaha]

Anche a me viene di rango due. Ma non vedo il motivo della soluzione riportata! Non ho mai sentito parlare di centro o asintoti per coniche degeneri!

[Musicam]

ciao, è possibile sapere come determinare il centro e gli assi di una conica? grazie...sto cercando di vedere dal libro ma nn c'è granchè...

[Mrhaha]

A mio parere la soluzione è sbagliata! Ma ti da pure le coordinate del centro? Se si, prova a vedere se coincide con l'intersezione delle due rette che vengono fuori scomponendo questa conica!

[A.l.e.c.s]

mi dà sia le coordinate del centro che le equazioni degli asintoti..e sarebbero queste.. centro: \(\displaystyle (−1, 0) \), asintoti: \(\displaystyle x + 2y + 1 = 0 \) , \(\displaystyle x − 2y + 1 = 0 \) ..per trovare il centro della conica la tua idea potrebbe funzionare ma per trovare gli asintoti è un bel problema..perchè abbiamo 2 rette..oppure potrei considerare le 2 rette come gli asintoti della conica.come ragionamento è un pò astratto..ma non vedo altra via d'uscita....

[A.l.e.c.s]

\(\displaystyle Per \) \(\displaystyle musicam \) il centro di una conica generale si trova ne seguente modo : \(\displaystyle x_0 = \frac{\alpha_{01}}{\alpha_{00}} \) ; \(\displaystyle y_0 = \frac{\alpha_{02}}{\alpha_{00}} \) dove \(\displaystyle \alpha_{01} \) \(\displaystyle \alpha_{02} \) sono i complementi algebrici di \(\displaystyle a_{01} \) e \(\displaystyle a_{02} \) nella matrice della conica. e le direzioni degli assi sono quelle degli autovalori della matrice \(\displaystyle A_{00} =\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix} \) .

[A.l.e.c.s]

ho provato a risolverla come conica degenere e le rette che la compongono escono diversamente dalla soluzione..e di conseguenza anche il centro..poi ho provato a risolverla come conica generale ed escono sia le rette che il centro..non capisco come è possibile..usando la seguente formula \(\displaystyle a_{11}l^2 + 2a_{12}lm + a_{22}m^2 = 0 \) per trovarmi i parametri direttori degli asintoti, da qui segue che i vettori direzione dei due asintoti sono : \(\displaystyle v= ( 1 , -2 ) \) ; \(\displaystyle w = ( 1 , 2 ) \) , visto che l'asintoto di un'iperbole è la retta che passa per il centro dell'iperbole stessa e come parametri direttori ha quelli della relazione sudetta , manca soltanto trovare il centro dell' iperbole che me lo ricavo in questo modo :
\(\displaystyle x_0 = \frac{\alpha_{01}}{\alpha_{00}} \) ; \(\displaystyle y_0 = \frac{\alpha_{02}}{\alpha_{00}} \) e trovo che il centro sia \(\displaystyle C = ( 1 , 0 ) \) non so perchè nell'risultato la \(\displaystyle x_0 = -1 \) , quindi a questo punto i 2 asintoti sono: \(\displaystyle r : 1( x - 1 ) -2( y - 0 ) = 0 \) ; \(\displaystyle s :1( x - 1 ) + 2( y - 0 ) = 0 \) ovvero \(\displaystyle r : x - 2y -1 = 0 \) ; \(\displaystyle s: x + 2y -1 = 0 \) ...facendo così mi trovo gli stessi risultati della soluzione, ma non hanno molto senso visto che la conica risulta degenere e io ho usato il metodo delle coniche generali...