Coniche

[Lory902]

Ciao a tutti. Mi trovo ad avere due dubbi, credo stupidi, ma a cui non riesco a dare una risposta. Ve li posto:

1) Perchè autovettori relativi ad autovalori distinti nelle matrici simmetriche sono perpendicolari?

2) Nelle coniche cosa si intende con il dire che ho un solo vettore coniugato?


Chiedo aiuto a voi per schiarire questi dubbi. Grazie.

[Lory902]

"Lory90":Perchè autovettori relativi ad autovalori distinti nelle matrici simmetriche sono perpendicolari?

Forse sono riuscito a trovare una via per dimostrarlo. Chiedo a voi gentilmente se fa di dirmi se ci sono errori. Io ho due autovettori $v$ e $w$ relativi a due autovalori distinti $\lambda$ e $\mu$ tali che $f(v)=\lambdav$ e $f(w)=\muw$. Inoltre gli autovettori verificano la condizione che $Av=\lambdav$. A questo punto dimostrando che sono perpendicolari avremo:

$<\lambdav,w>$$=$$$$=$$$$=$$$ per cui avrei $(\lambda-\mu)()=0$ e quindi $()=0$ per cui sono perpendicolari. E' giusto?

[cirasa]

Sì, è giusto. Dove hai usato che $A$ è simmetrica?

[Lory902]

"cirasa":Sì, è giusto. Dove hai usato che $A$ è simmetrica?

Mh bella domanda . Forse quando dico che $$$=$$$ perchè essendo simmetrica avrei che $A^t=A$ quindi nel mio prodotto scalare avrei $$$=(Au)^t(v)=u^t(Av)=$$$. o sbaglio?

[cirasa]

Esatto

[Lory902]

e per l'altro mio dubbio invece?sapresti dirmi qualche cosa? In pratica il mio dubbio e' che quando vado a dimostrare che le direzioni principali sono autovettori della matrice $A$ relativi ad autovalori diversi da zero avrei che $$$=0$ ma anche $$$=0$ dove $u$ e' la direzione principale, $v$ una direzione coniugata e per definizione di direzione coniugata ad u avrei che $$$=0$. Ora nel mio libro dice che siccome nelle coniche ho un solo vettore coniugato allora $u$ e $Au$ devono essere lin. Dipendenti. Ma cosa si intende per vettore coniugato?e poi non basterebbe dire che sono lin dipendenti perché perpendicolari allo stesso vettore?

[cirasa]

Allora, calma. Dobbiamo innanzitutto chiarire le notazioni.
$A$ cos'è? E' la matrice $3\times 3$ associata alla conica in un dato riferimento? O quella $2\times 2$?
Se non ho capito male, tu intendi quella $2\times 2$. Supponiamo che sia così...

Prima domanda: data una direzione cosa si intende per direzione coniugata? Date due coppie $u=(l,m)$, $v=(l',m')$ (non nulle), esse rappresentano due direzioni nel piano (o equivalentemente $(l,m,0)$, $(l',m',0)$ sono le coordinate proiettive omogenee di due punti impropri).
Si dice che $u$, $v$ sono direzioni coniugate se
(1) $ =0$.
Più in generale dati due punti $P$ e $Q$ nel piano proiettivo con coordinate proiettive $x$, $y$ rispettivamente (con $x,y\in RR^3$, $x,y!=0$), $P$ e $Q$ si dicono coniugati se $ =0$, dove $A'$ è la matrice $3\times 3$ che rappresenta la conica.
E' questa la definizione che hai tu?
Se è così, osserva che dato un punto $P$ tutti (e soli) i punti coniugati di $P$ sono quelli della polare di $P$.

Ora, supponiamo che si tratti di una conica di rango $3$ e sia $u$ una direzione (supponiamo che la direzione $u$ non sia il centro della conica).
La sua direzione coniugata è unica. Infatti una direzione coniugata di $u$ è innanzitutto un punto della sua polare.
Pertanto la direzione coniugata di $u$ è il punto (unico appunto!) improprio della polare di $u$.

Quindi sia $v$ l'unica direzione coniugata di $u$.
Se $u$ è direzione principale $ =0$.
Quest'ultima condizione, insieme alla (1) data dalla definizione di direzioni coniugate, ti dice che $Au$ è linearmente dipendente con $u$, ovvero $u$ è autovettore di $A$.

[Lory902]

"cirasa":Allora, calma. Dobbiamo innanzitutto chiarire le notazioni.
$A$ cos'è? E' la matrice $3\times 3$ associata alla conica in un dato riferimento? O quella $2\times 2$?
Se non ho capito male, tu intendi quella $2\times 2$. Supponiamo che sia così...

Esatto con $A$ intendo la matrice $2\times 2$.

"cirasa":Si dice che $u$, $v$ sono direzioni coniugate se
(1) $ =0$.

Io so questa definizione, senza lavorare con le coordinate proiettive. Per questo ti chiedevo che se $u$ è direzione principale $ =0$ per definizione e se potevo semplicemente basandomi su questa definizione e sulla (1) dire che $Au$ è linearmente dipendente con $u$ dato che sono ortogonali allo stesso vettore.

[cirasa]

Certo. E' giusto ciò che dici, ma necessiti della direzione $v$ per la tua dimostrazione.
E tale $v$ esiste ed è unica per quanto ti ho detto nel mio precedente messaggio.

[Lory902]

Si ma $v$ sbaglio o l'hai definito usando i punti impropri?se io volessi dimostrare che e' unico senza ricorrere ai punti impropri?

[cirasa]

Non mi viene in mente una dimostrazione diversa dalla precedente.
Ma osserva che è estremamente facile.
Se $u$ è una direzione (ovvero un punto improprio del piano proiettivo), la sua direzione coniugata è ovviamente un punto improprio ed appartiene alla polare di $u$.
Quindi la direzione coniugata di $u$ non è altro che il punto improprio della retta polare, che è unico se supponiamo che tale retta polare non sia la retta impropria (ovvero che la direzione $u$ non è il centro della conica).