Coniche

[gloria991]

Buongiorno, ho questo quesito:

Data la conica $C_k$ : $9x^2 + (k-4)y^2-36x+3(k-8)y=0$ determinare per quali valori di k la conica $C_k$ è generale e ha come centro un punto improprio.

1- Io so che il determinante della matrice della conica dev'essere diverso da 0 affinchè la conica sia generale. Il problema sta proprio qua non esce il risultato del tema d'esame.

Ho costruito la matrice: $((9,0,-18),(0,k-4,3/2(k-8)),(-18,3/2(k-8),0))$

il determinate mi esce $81/4$ $k^2$ e quindi $k$ $!=$ $0$ e invece il risultato è $k=4$.

Evidentemente sbaglio qualcosa a monte.

Grazie per l'aiuto.

[fmnq]

Deve venire \(9D_1 -18D_2\) dove $D_,D_2$ sono certi sotto-determinanti di questa matrice. Se dividi tutto per 9 (dovendo capire quando questa cosa fa zero, è una buona idea eliminare le cose che non fanno zero), ti viene che $D_1-2D_2=0$. Questi determinanti sono 2x2, e sono abbastanza semplici da calcolare, dove pensi di sbagliare?

[Bokonon]

Se i dati riportati sono tutti esatti, allora $k=0$ è corretto.
Basta sostituire se si è nel dubbio e per $k=0$ la matrice ha rango 2 quindi la conica è degenere.
Ma il problema non ti chiede solo "per quali valori di k la conica è generale" ma anche che debba avere centro improprio...quindi per quale valore di $k!=0$ accadrà?

[gloria991]

Ecco sono completamente bloccata sul fatto che deve avere come centro un punto improprio.
Ho provato a intersecare:

$\{(9x-18=0),((k-4)y+3/2(k-8)=0):}$


ma non ne vengo proprio a capo.
grazie per l'aiuto.

[Bokonon]

Mi era sfuggita la tua risposta...
Ma scusami, la parabola ha un centro improprio...e affinchè la conica sia una parabola il determinante del primo minore deve essere uguale a zero quindi $9(k-4)=0$.
Quindi $k=4!=0$ è una parabola