Conica passante per tre punti e tangente alla retta

[masaurus]

trovare la conica passante per i punti A$ ( ( 1 ),( 1 ) ) $ , B$ ( ( 0 ),( 1 ) ) $ e C$ ( ( -2 ),( -2 ) ) $ e tangente alla retta y=x+2 in D$ ( ( 0 ),( 2 ) ) $ , utilizzando il fascio di coniche passanti per i punti A e B e tangenti alla retta y=x+2 in D.

in questo caso per la soluzione, mi conviene trovare l'equazione della retta per AB?
sono un pò confuso...

[sandroroma]

Si tratta di un esercizio classico. Hai 5 punti che sono :
$A,B,D,D,C $
[ il punto D compare 2 volte perché punto di contatto con la tangente data]
Con i primi 4 punti si possono costruire 2 coniche degeneri, la prima delle quali si spezza nelle rette
AB e DD e la seconda nelle rette AD e BD.
Pertanto l'equazione del fascio di coniche passanti per i primi 4 punti è:
$\lambda AB.DD+\mu AD.BD=0$
Facendo i necessari calcoli si ha l'equazione :
$\lambda(y-1)(x-y+2)+\mu(x+y-2)(x)=0$
A questo punto occorre imporre il passaggio per il punto $C(-2,-2)$ e si ha la relazione:
$\lambda(-3)(2)+\mu(-6)(-2)=0$
da cui si ricava che :
$\lambda=2\mu$
Sostituendo tale valore di $\lambda $ nell'equazione del fascio si ottiene la relazione:
$2\mu(y-1)(x-y+2)+\mu(x+y-2)(x)=0$
Semplificando per $\mu$ [ che non può essere nullo] e facendo le necessarie semplificazioni si ha l'equazione
della conica:
$x^2+3xy-2y^2-4x+6y-4=0$
N.B. Per favore rivedi i calcoli.. Hai visto mai...

[masaurus]

ok, io l'avevo impostato in maniera totalmente diversa...
Quindi anche questo non è come immagino...
Equazione della conica C tangente alla retta $ x-y+1=0 $ in A $ ( ( 0 ),( 1 ) ) $ , tangente alla retta $ x+3y+2=0 $ in B $ ( ( -2 ),( 0 ) ) $, e passante per C $ ( ( 1 ),( 1 ) ) $, utlizzando il fascio di conich tangenti alla retta $ x-y+1=0 $ in A $ ( ( 0 ),( 1 ) ) $ e tangenti alla retta $ x+3y+2=0 $ in B $ ( ( -2 ),( 0 ) ) $.
Spero che anche questa non sia un classico, altrimenti mi deprimo...

[sandroroma]

Non è necessario deprimersi ma tener conto che questo tipo di problemi si risolve in maniera [oserei dire]
quasi automatica. In buona sostanza occorre ricordare che per determinare un fascio di coniche occorrono
4 punti distinti e per determinare nel fascio una conica particolare serve un quinto punto.
Nel caso tuo i quattro punti sono :
A,A,B,B [il punto di contatto di una tangente conta per due]
Con questi 4 punti puoi costruire in diversi modi due coniche degeneri che nel caso nostro
possono essere quella che si spezza nelle rette AA e BB (ovvero le tangenti date) e quella
che si spezza nelle rette (coincidenti) AB e AB.
Pertanto l'equazione del fascio avente per punti base A,A,B,B può essere scritta simbolicamente cosi:
$\lambda(A A.BB)+\mu(AB.AB)=0$
Nella formula precedente ( come già detto) AA e BB sono le tangenti date in A e in B rispettivamente e AB è la retta per A e per B.
Una volta determinato il fascio basterà imporre il passaggio per il punto C per avere l'equazione della conica richiesta.
A te i calcoli .

[masaurus]

Ma così questo valore mi vene nullo... $ \lambda(A A.BB)$ è possibile?

[sandroroma]

Devi aver fatto degli errori perché l'equazione delle conica mi viene così:
$5x^2-26xy+27y^2+21x-49y+22=0$
e, se non ho fatto sbagli pure io, corrisponde ai dati del problema [come puoi verificare direttamente anche tu]

[masaurus]

Sicuramnte si, ti giro anche l'altro modo in cui l'avevo impostato che mi porta comunque ad un valore nullo...
r U s
AB U AB
$ lambda(x−y+1)(x+3y+2) + mu (x-2y+1)^2=0 $
imponendo il passaggio per C $ ( ( 1 ),( 1 ) ) $ il valore di $ mu $ è nullo

[sandroroma]

C'é un errore nei tuoi calcoli. L'equazione di AB non é :
$x-2y+1=0$
ma :
$x-2y+2=0$

[masaurus]

Verissimo, come sempre