Conica da ridurre in forma canonica PARABOLA. cosa sbaglio?
Salve Matematici 
Ho questa conica da ridurre
$x^2+2xy+y^2+10x+2y+7$
Risolvendo la matrice A33 e A22 ho che i determinanti sono rispettivamente -16 e 0 dunque trattasi di PARABOLA
a) applico la rotazione
1) calcolo l'angolo di rotazione attraverso la formula $-a_{12}tg^2\alpha+(a_{22}-a_{11})tg\alpha+a_{12}=0$
risolvendo ho che $tg\alpha=+- 1 $ prendo alpha = 1
2) calcolo $sin\alpha $ e $cos\alpha$ attraverso le forumel $cos\alpha=1/sqrt(1+tg^2\alpha) $ e $sin\alpha=(tg\alpha)/sqrt(1+tg^2\alpha) $
e ho $sin\alpha=sqrt(2)/2$ stesso risultato per $cos\alpha$
3) apllico sistema rotazione
$\{(x = cos\alphaX - sin\alphaY),(y=sin\alphaX+cos\alphaY):}$
dunque
$\{(x = sqrt(2)/2X - ssqrt(2)/2Y),(y= sqrt(2)/2X+sqrt(2)/2Y):}$
4) sostituisco e facendo le dovute semplificazioni ho :
$Y=1/(2sqrt(2))X^2+3/2X+7/(4sqrt(2))$
b) Traslazione
Osservo che la parabola avendo il termine di secondo grado in X ad asse verticale e quindi calcolo il veritce
$ xv= - (b/(2a))$ che è $-(3sqrt(2))/2$
$ yv=-(b^2-4ac)/(4a) $ che è $-sqrt(2)/4$
2) trovo impongo i termini da sostituire
$\{(X=x-(3sqrt(2))/2), (Y=y-sqrt(2)/4):}$
3) sostituendo ottengo
$y=1/(2sqrt(2))x^2+2sqrt(2)-9/4$
e non mi trovo perché il risultato riportato dalla dispensa è $x=-sqrt(2)/6y^2$
Cosa sbaglio ? 
ho la netta sensazione di sbagliare qualcoas nella rotazione... ma cosa
Come sempre grazie in anticipo per le vostre risposte
Ho questa conica da ridurre
$x^2+2xy+y^2+10x+2y+7$
Risolvendo la matrice A33 e A22 ho che i determinanti sono rispettivamente -16 e 0 dunque trattasi di PARABOLA
a) applico la rotazione
1) calcolo l'angolo di rotazione attraverso la formula $-a_{12}tg^2\alpha+(a_{22}-a_{11})tg\alpha+a_{12}=0$
risolvendo ho che $tg\alpha=+- 1 $ prendo alpha = 1
2) calcolo $sin\alpha $ e $cos\alpha$ attraverso le forumel $cos\alpha=1/sqrt(1+tg^2\alpha) $ e $sin\alpha=(tg\alpha)/sqrt(1+tg^2\alpha) $
e ho $sin\alpha=sqrt(2)/2$ stesso risultato per $cos\alpha$
3) apllico sistema rotazione
$\{(x = cos\alphaX - sin\alphaY),(y=sin\alphaX+cos\alphaY):}$
dunque
$\{(x = sqrt(2)/2X - ssqrt(2)/2Y),(y= sqrt(2)/2X+sqrt(2)/2Y):}$
4) sostituisco e facendo le dovute semplificazioni ho :
$Y=1/(2sqrt(2))X^2+3/2X+7/(4sqrt(2))$
b) Traslazione
Osservo che la parabola avendo il termine di secondo grado in X ad asse verticale e quindi calcolo il veritce
$ xv= - (b/(2a))$ che è $-(3sqrt(2))/2$
$ yv=-(b^2-4ac)/(4a) $ che è $-sqrt(2)/4$
2) trovo impongo i termini da sostituire
$\{(X=x-(3sqrt(2))/2), (Y=y-sqrt(2)/4):}$
3) sostituendo ottengo
$y=1/(2sqrt(2))x^2+2sqrt(2)-9/4$
e non mi trovo perché il risultato riportato dalla dispensa è $x=-sqrt(2)/6y^2$
Cosa sbaglio ?
ho la netta sensazione di sbagliare qualcoas nella rotazione... ma cosa
Come sempre grazie in anticipo per le vostre risposte
Risposte
"D@V1D3":
Salve Matematici
Ho questa conica da ridurre
$x^2+2xy+y^2+10x+2y+7$
Devi mettere uguale a zero!
La conica è
$x^2+2xy+y^2+10x+2y+7 = 0$ .
Per dimostrare che si tratta di una parabola è possibile scriverla sotto questa "veste":
$(x+y)^2 + 10x+2y+7 = 0$
Con il cambio di variabili
$\{ (X = x+y) , (Y = 10x+2y+7) :}$
ottieni
$X^2 + Y = 0$
Attenzione: non si tratta di una isometria, ma solo di una trasformazione affine.
In ogni caso ho dimostrato senza determinanti che si tratta di una parabola;
per analizzare meglio la conica dobbiamo prendere in considerazione le
isometrie.
$x^2+2xy+y^2+10x+2y+7 = 0$ .
Per dimostrare che si tratta di una parabola è possibile scriverla sotto questa "veste":
$(x+y)^2 + 10x+2y+7 = 0$
Con il cambio di variabili
$\{ (X = x+y) , (Y = 10x+2y+7) :}$
ottieni
$X^2 + Y = 0$
Attenzione: non si tratta di una isometria, ma solo di una trasformazione affine.
In ogni caso ho dimostrato senza determinanti che si tratta di una parabola;
per analizzare meglio la conica dobbiamo prendere in considerazione le
isometrie.
"D@V1D3":
Salve Matematici
Ho questa conica da ridurre
$x^2+2xy+y^2+10x+2y+7$
Con il cambio di coordinate
${ (x = sqrt(2)/2 X - sqrt(2)/2 Y) , (y = sqrt(2)/2 X + sqrt(2)/2 Y) :}$
si ottiene l'equazione cartesiana senza il termine misto:
$2 X^2 + 6 sqrt(2) X - 6 sqrt(2) Y + 7 = 0$.
Ciao franced, prima di tutto grazie 1000 per le tue risposte
Veniamo al prb
io fino alla conica ruotata ci sono arrivato, che di fatti è
$2X^2+6sqrt(2)X-4sqrt(2)Y+7$
Poi procedo con la traslazione
e come ho già evidenziato nel primo post ( correggimi se sbaglio
) essendo la X il termine di secondo grado procedo con traslazione, imponendo la sostituzione calcolando il vertice della parabola ad asse VERTICALE .
Ovviamente scrivo la conica mettendo X in funzione di y
$Y=1/(2sqrt(2))X^2+3/2X+7/(4sqrt(2))$
Vertice:
$ xv= - (b/(2a))$ che è $-(3sqrt(2))/2$
$ yv=-(b^2-4ac)/(4a) $ che è $-sqrt(2)/4$
impongo i termini da sostituire
$\{(X=x-(3sqrt(2))/2), (Y=y-sqrt(2)/4):}$
e sostituendo ottengo questa robaccia qua
$y=1/(2sqrt(2))x^2+2sqrt(2)-9/4$
che non ha nulla a che vedere con il risultato che riporta la mia dispensa !!!!
A questo punto ti-vi chiedo .
E' giusto il procedimento da me adottato ?
In questo commetto qualche errore nella traslazione o rotazione ?
il risultato riportato nella dispensa è $x=-sqrt(2)/6Y^2$
Veniamo al prb
io fino alla conica ruotata ci sono arrivato, che di fatti è
$2X^2+6sqrt(2)X-4sqrt(2)Y+7$
Poi procedo con la traslazione
e come ho già evidenziato nel primo post ( correggimi se sbaglio
) essendo la X il termine di secondo grado procedo con traslazione, imponendo la sostituzione calcolando il vertice della parabola ad asse VERTICALE .Ovviamente scrivo la conica mettendo X in funzione di y
$Y=1/(2sqrt(2))X^2+3/2X+7/(4sqrt(2))$
Vertice:
$ xv= - (b/(2a))$ che è $-(3sqrt(2))/2$
$ yv=-(b^2-4ac)/(4a) $ che è $-sqrt(2)/4$
impongo i termini da sostituire
$\{(X=x-(3sqrt(2))/2), (Y=y-sqrt(2)/4):}$
e sostituendo ottengo questa robaccia qua
$y=1/(2sqrt(2))x^2+2sqrt(2)-9/4$
che non ha nulla a che vedere con il risultato che riporta la mia dispensa !!!!
A questo punto ti-vi chiedo .
E' giusto il procedimento da me adottato ?
In questo commetto qualche errore nella traslazione o rotazione ?
il risultato riportato nella dispensa è $x=-sqrt(2)/6Y^2$
"D@V1D3":
Ciao franced, prima di tutto grazie 1000 per le tue risposte
Veniamo al prb
io fino alla conica ruotata ci sono arrivato, che di fatti è
$2X^2+6sqrt(2)X-4sqrt(2)Y+7$
Prova a rifare i conti, a me non torna così.
Freanced perdonami ma il termine y ha coefficente -4
sostituendo ottengo un $-5sqrt(2)y$ e un $+sqrt(2)y$
Eh se la matematica non è un opinione
Franced ( o chi altro vuole rispondere ) sperando di venire a capo con questa parabola dannata ti sarei grato se dessi un'occhiata anche a quest altro quesito...
___________________
Dato il punto P e le rette R e S, determina l'equazione della retta passante per P, perpendicolare ad S e INCIDENTE a R.
Punto $P=(1;2;-1)$
retta R $(x-2)/-2=(y-1)/3=(1-2z)/1$
Retta S $\{(z=0),(3x-y-2=0):}$
__________________
Sulla condizione di passaggio per il punto e perpendicolarità ad S ci sono, ma non capisco come imporre che sia incidente ad R .
Come sempre grazie 1000
sostituendo ottengo un $-5sqrt(2)y$ e un $+sqrt(2)y$
Eh se la matematica non è un opinione
Franced ( o chi altro vuole rispondere
) sperando di venire a capo con questa parabola dannata ti sarei grato se dessi un'occhiata anche a quest altro quesito... ___________________
Dato il punto P e le rette R e S, determina l'equazione della retta passante per P, perpendicolare ad S e INCIDENTE a R.
Punto $P=(1;2;-1)$
retta R $(x-2)/-2=(y-1)/3=(1-2z)/1$
Retta S $\{(z=0),(3x-y-2=0):}$
__________________
Sulla condizione di passaggio per il punto e perpendicolarità ad S ci sono, ma non capisco come imporre che sia incidente ad R .
Come sempre grazie 1000
"D@V1D3":
Freanced perdonami ma il termine y ha coefficente -4
sostituendo ottengo un $-5sqrt(2)y$ e un $+sqrt(2)y$
Ok, è vero. Il bello è che i conti li faccio fare al computer e poi sbaglio a fare copia e incolla!!
L'equazione è
$2X^2+6sqrt(2)X-4sqrt(2)Y+7 = 0$.
Arrivato a questo punto basta traslare, e la forma
canonica è
$2(X')^2 - 4 sqrt(2) (Y') = 0$
ovvero
$Y' = 2/(4 sqrt(2)) (X')^2$
che è semplificabile in
$Y' = sqrt(2)/4 (X')^2$.
$2X^2+6sqrt(2)X-4sqrt(2)Y+7 = 0$.
Arrivato a questo punto basta traslare, e la forma
canonica è
$2(X')^2 - 4 sqrt(2) (Y') = 0$
ovvero
$Y' = 2/(4 sqrt(2)) (X')^2$
che è semplificabile in
$Y' = sqrt(2)/4 (X')^2$.
"franced":
L'equazione è
$2X^2+6sqrt(2)X-4sqrt(2)Y+7 = 0$.
Arrivato a questo punto basta traslare, e la forma
canonica è
$2(X')^2 - 4 sqrt(2) (Y') = 0$
ovvero
$Y' = 2/(4 sqrt(2)) (X')^2$
che è semplificabile in
$Y' = sqrt(2)/4 (X')^2$.
Per trovare la traslazione è possibile calcolare il vertice della parabola $2X^2+6sqrt(2)X-4sqrt(2)Y+7 = 0$
e scrivere:
$\{ (X = X' + X_V) , (Y = Y' + Y_V) :}$
E' possibile anche, volendo, sostituire direttamente la $X$ e la $Y$ nell'equazione $2X^2+6sqrt(2)X-4sqrt(2)Y+7 = 0$
e scegliere le incognite $X_V$ e $Y_V$ in modo tale da annullare il coefficiente di $X'$ e il termine costante.
"franced":
Per trovare la traslazione è possibile calcolare il vertice della parabola $2X^2+6sqrt(2)X-4sqrt(2)Y+7 = 0$
e scrivere:
$\{ (X = X' + X_V) , (Y = Y' + Y_V) :}$
Dal momento che
$X_V = -3/2 sqrt(2)$ e $Y_V = -sqrt(2)/4$ (ho controllato i tuoi calcoli)
si ha:
$\{ (X = X' - 3/2 sqrt(2)) , (Y = Y' - sqrt(2)/4) :}$
se fai conti vedrai che il termine lineare in $X'$ è nullo e tale è anche il termine costante.
Ottieni proprio
$Y' = sqrt(2)/4 (X')^2$
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