Conica, asintoti, proiezioni e circonferenza nello spazio
Ciao a tutti! Sono uno studente (fuori corso da tempo purtroppo 
) che è alle prese con l'esame di Geometria, lo stesso che ha postato il problema di Analisi nell'apposita sezione poiché il mio corso prevedeva Analisi e Geometria insieme, prendendo il nome di Matematica I e II. Lo scritto l'ho svolto l'altro giorno ed ora, visto che non ho modo di riscontri per capire se ciò che ho fatto è giusto, avrei bisogno dei vostri suggerimenti per arrivare il più preparato possibile all'orale della prossima settimana 
Gli esercizi sono due più uno riguardante Matlab che non so se sia sede giusta di discussione, chiedo a voi se posso chiedere qui o se invece non è il caso
1) Dimostrare che la conica $ 2x^2-3xy+3y=0 $ è un'iperbole, determinare gli asintoti e disegnarla (non sono richiesti assi, vertici o equazione canonica):
Ho proceduto studiando il $ det( ( 2 , -3/2 , 0 ),( -3/2 , 0 , 3/2 ),( 0 , 3/2 , 0 ) ) $ che viene $ -9/2!= 0 $ e quindi è una Conica non degenere, quindi ho studiato il determinante dei termini quadratici, ovvero: $ det( ( 2 , -3/2 ),( -3/2 , 0 ) ) $ che risulta essere $ -9/4<0 $ quindi è un'iperbole.
Per trovare Asintoti e quindi disegnarla non so se ho usato la strada più veloce: ho scritto l'equazione della conica in non omogenea imponendo $ x=x_1/x_3 $ , $ y=x_2/x_3 $ e $ x3!=0 $ di conseguenza ho messo a sistema l'equazione ottenuta con x1, x2 ed x3 con l'equazione x3=0 ed ho trovato $ 2x_1^2-3x_1x_2=0 $ ho diviso tutto per x2 e risolto l'equazione di secondo grado:
$ (x_1/x_2)=0 $ e $ (x_1/x_2)=3/2 $ quindi i punti impropri della conica sono $ P_1=(0,1,0) $ e $ P_2=(3/2,1,0) $
Per trovare l'equazioni degli asintoti ho risolto le seguenti moltiplicazioni tra matrici:
$ ( 3/2 \ \ 1 \ \ 0 )* ( ( 2 , -3/2 , 0 ),( -3/2 , 0 , 3/2 ),( 0 , 3/2 , 0 ) ) * ( ( x ),( y ),( 1 ) ) = 3/2x-9/4y+3/2 $
$ ( 0 \ \ 1 \ \ 0 )* ( ( 2 , -3/2 , 0 ),( -3/2 , 0 , 3/2 ),( 0 , 3/2 , 0 ) ) * ( ( x ),( y ),( 1 ) ) = -3/2x+3/2 $
pongo i risultati uguali a 0 e ottengo i due asintoti:
$ y=2/3x+2/3 $ e $ x=1 $
Siccome ho notato che per trovare gli asintoti ci sono diverse strade, potreste dirmi se ve ne fosse una molto più rapida e nel caso farmela vedere?
2) Nello spazio, nel quale è fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche destrorse Oxyz sono dati il punto $ P=(0,2,1) $, il piano $ alpha:x+2y+z=2 $ e i suoi due punti $ A=(2,0,0) $ e $ B=(0,0,2) $.
Nel compito avevo un disegno con un piano $ alpha $ e su questo piano giace la circonferenza $ gamma $ con centro $ P_1 $ una retta $ r $ passante per A e B tangente alla circonferenza e punto di tangenza $ P_2 $, un punto $ P $ fuori dal piano $ alpha $ ortogonale a $ P_1 $.
a. Scrivere il Punto $ P_1 $ proiezione del punto P sul piano $ alpha $:
Ho trovato il vettore normale del piano $ n_alpha=(1,2,1) $ e quindi di conseguenza la retta s ortogonale ad $ alpha $ avrà vettore direzionale $ v_s=n_alpha=(1,2,1) $ per cui la retta ortogonale ad $ alpha $ e passante per P è:
$ s:{ ( x=t ),( y=2+2t ),( 1+t ):} $ intersecandola con il piano $ alpha $ ottengo il valore di t che mi permette di calcolare $ P_1 $ cioè:
$ t+2(2+2t)+(1+t)-2=0 $ quindi $ t=-1/2 $ sostituisco alla retta s questo t e $ P_1=(-1/2,1,1/2) $.
Ho proceduto correttamente?
b. Scrivere la proiezione $ P_2 $ di $ P_1 $ sulla retta $ r:AB $.
Per questo punto ho calcolato la retta $ r $ passante per AB, $ r:{ ( x=2-2t ),( y=0 ),( z=2t ):} $ con vettore direzionale $ v_r=(-2,0,2) $ quindi ho pensato di calcolare il piano $ beta $ che passa per il punto trovato prima $ P_1 $ ed è ortogonale ad $ r $ quindi ho trovato $ beta:2x-2z+2=0 $
Dopo ho intersecato il piano $ beta $ con la retta $ r $ ed ho trovato un valore di t per trovare sulla retta r il punto cercato $ P_2 $:
$ 2(2-2t)-2(2t)+2=0 $ quindi $ t=3/4 $ di conseguenza sostituendo t in r: $ P_2=(1/2,0,3/2) $
Anche per questo punto spero di aver usato la via migliore e vi chiedo, oltre a confermarmi la correttezza
, se altre strade sarebbero state immediate.
c. Scrivere una rappresentazione cartesiana per la circonferenza di centro $ P_1 $ e tangente alla retta $ r:AB $:
Ultimo punto e ormai stremato ho agito così
....ho già il centro, $ P_1=(-1/2,1,1/2) $ quindi la mia circonferenza avrà equazione del tipo: $ gamma:(x+1/2)^2+(y-1)^2+(z-1/2)^2=R $ ma R, il raggio, è esattamente la distanza tra $ P_1 $ il centro e $ P_2 $ punto tangente tra r e la circonferenza, quindi: $ d(P_1,P_2)=sqrt((-1/2-1/2)^2+(1-0)^2+(1/2-3/2)^2)=sqrt(1+1+1)=sqrt(3) $ e finalmente ottengo la circonferenza $ gamma:(x+1/2)^2+(y-1)^2+(z-1/2)^2=3 $
Conclusione, sto incrociando l'incrociabile per aver fatto più punti possibili.
Mi scuso se mi sono dilungato nuovamente ma pensavo fosse meno dispersivo aprire più discussioni per ogni punto dell'esercizio che mi è stato dato.
Aspettando preoccupato un vostro secondo riscontro vi ringrazio davvero di cuore
Buona serata, Matteo
) che è alle prese con l'esame di Geometria, lo stesso che ha postato il problema di Analisi nell'apposita sezione poiché il mio corso prevedeva Analisi e Geometria insieme, prendendo il nome di Matematica I e II. Lo scritto l'ho svolto l'altro giorno ed ora, visto che non ho modo di riscontri per capire se ciò che ho fatto è giusto, avrei bisogno dei vostri suggerimenti per arrivare il più preparato possibile all'orale della prossima settimana Gli esercizi sono due più uno riguardante Matlab che non so se sia sede giusta di discussione, chiedo a voi se posso chiedere qui o se invece non è il caso
1) Dimostrare che la conica $ 2x^2-3xy+3y=0 $ è un'iperbole, determinare gli asintoti e disegnarla (non sono richiesti assi, vertici o equazione canonica):
Ho proceduto studiando il $ det( ( 2 , -3/2 , 0 ),( -3/2 , 0 , 3/2 ),( 0 , 3/2 , 0 ) ) $ che viene $ -9/2!= 0 $ e quindi è una Conica non degenere, quindi ho studiato il determinante dei termini quadratici, ovvero: $ det( ( 2 , -3/2 ),( -3/2 , 0 ) ) $ che risulta essere $ -9/4<0 $ quindi è un'iperbole.
Per trovare Asintoti e quindi disegnarla non so se ho usato la strada più veloce: ho scritto l'equazione della conica in non omogenea imponendo $ x=x_1/x_3 $ , $ y=x_2/x_3 $ e $ x3!=0 $ di conseguenza ho messo a sistema l'equazione ottenuta con x1, x2 ed x3 con l'equazione x3=0 ed ho trovato $ 2x_1^2-3x_1x_2=0 $ ho diviso tutto per x2 e risolto l'equazione di secondo grado:
$ (x_1/x_2)=0 $ e $ (x_1/x_2)=3/2 $ quindi i punti impropri della conica sono $ P_1=(0,1,0) $ e $ P_2=(3/2,1,0) $
Per trovare l'equazioni degli asintoti ho risolto le seguenti moltiplicazioni tra matrici:
$ ( 3/2 \ \ 1 \ \ 0 )* ( ( 2 , -3/2 , 0 ),( -3/2 , 0 , 3/2 ),( 0 , 3/2 , 0 ) ) * ( ( x ),( y ),( 1 ) ) = 3/2x-9/4y+3/2 $
$ ( 0 \ \ 1 \ \ 0 )* ( ( 2 , -3/2 , 0 ),( -3/2 , 0 , 3/2 ),( 0 , 3/2 , 0 ) ) * ( ( x ),( y ),( 1 ) ) = -3/2x+3/2 $
pongo i risultati uguali a 0 e ottengo i due asintoti:
$ y=2/3x+2/3 $ e $ x=1 $
Siccome ho notato che per trovare gli asintoti ci sono diverse strade, potreste dirmi se ve ne fosse una molto più rapida e nel caso farmela vedere?
2) Nello spazio, nel quale è fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche destrorse Oxyz sono dati il punto $ P=(0,2,1) $, il piano $ alpha:x+2y+z=2 $ e i suoi due punti $ A=(2,0,0) $ e $ B=(0,0,2) $.
Nel compito avevo un disegno con un piano $ alpha $ e su questo piano giace la circonferenza $ gamma $ con centro $ P_1 $ una retta $ r $ passante per A e B tangente alla circonferenza e punto di tangenza $ P_2 $, un punto $ P $ fuori dal piano $ alpha $ ortogonale a $ P_1 $.
a. Scrivere il Punto $ P_1 $ proiezione del punto P sul piano $ alpha $:
Ho trovato il vettore normale del piano $ n_alpha=(1,2,1) $ e quindi di conseguenza la retta s ortogonale ad $ alpha $ avrà vettore direzionale $ v_s=n_alpha=(1,2,1) $ per cui la retta ortogonale ad $ alpha $ e passante per P è:
$ s:{ ( x=t ),( y=2+2t ),( 1+t ):} $ intersecandola con il piano $ alpha $ ottengo il valore di t che mi permette di calcolare $ P_1 $ cioè:
$ t+2(2+2t)+(1+t)-2=0 $ quindi $ t=-1/2 $ sostituisco alla retta s questo t e $ P_1=(-1/2,1,1/2) $.
Ho proceduto correttamente?
b. Scrivere la proiezione $ P_2 $ di $ P_1 $ sulla retta $ r:AB $.
Per questo punto ho calcolato la retta $ r $ passante per AB, $ r:{ ( x=2-2t ),( y=0 ),( z=2t ):} $ con vettore direzionale $ v_r=(-2,0,2) $ quindi ho pensato di calcolare il piano $ beta $ che passa per il punto trovato prima $ P_1 $ ed è ortogonale ad $ r $ quindi ho trovato $ beta:2x-2z+2=0 $
Dopo ho intersecato il piano $ beta $ con la retta $ r $ ed ho trovato un valore di t per trovare sulla retta r il punto cercato $ P_2 $:
$ 2(2-2t)-2(2t)+2=0 $ quindi $ t=3/4 $ di conseguenza sostituendo t in r: $ P_2=(1/2,0,3/2) $
Anche per questo punto spero di aver usato la via migliore e vi chiedo, oltre a confermarmi la correttezza
, se altre strade sarebbero state immediate.c. Scrivere una rappresentazione cartesiana per la circonferenza di centro $ P_1 $ e tangente alla retta $ r:AB $:
Ultimo punto e ormai stremato ho agito così
....ho già il centro, $ P_1=(-1/2,1,1/2) $ quindi la mia circonferenza avrà equazione del tipo: $ gamma:(x+1/2)^2+(y-1)^2+(z-1/2)^2=R $ ma R, il raggio, è esattamente la distanza tra $ P_1 $ il centro e $ P_2 $ punto tangente tra r e la circonferenza, quindi: $ d(P_1,P_2)=sqrt((-1/2-1/2)^2+(1-0)^2+(1/2-3/2)^2)=sqrt(1+1+1)=sqrt(3) $ e finalmente ottengo la circonferenza $ gamma:(x+1/2)^2+(y-1)^2+(z-1/2)^2=3 $Conclusione, sto incrociando l'incrociabile per aver fatto più punti possibili
.Mi scuso se mi sono dilungato nuovamente ma pensavo fosse meno dispersivo aprire più discussioni per ogni punto dell'esercizio che mi è stato dato.
Aspettando preoccupato un vostro secondo riscontro vi ringrazio davvero di cuore
Buona serata, Matteo
Risposte
[size=150]c)[/size]
L'equazione :
$(x+1/2)^2+(y-1)^2+(z-1/2)^2=3$
non rappresenta una circonferenza ma una sfera. Se vuoi avere la circonferenza $gamma$ devi accoppiare l'equazione di detta sfera con quella del piano individuato dalla retta AB e dal punto $P_1$.
Pertanto, se non ho sbagliato qualche calcolo, le equazioni di $gamma$ sono date dal sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}(x+\frac{1}{2})^2+(y-1)^2+(z-\frac{1}{2})^2=3\\x+2y+z=2\end{cases} \)
http://www.ilsecoloxix.it/p/genova/2015/04/03/ARN3ND1D-denunciati_disabili_parenti.shtml
L'equazione :
$(x+1/2)^2+(y-1)^2+(z-1/2)^2=3$
non rappresenta una circonferenza ma una sfera. Se vuoi avere la circonferenza $gamma$ devi accoppiare l'equazione di detta sfera con quella del piano individuato dalla retta AB e dal punto $P_1$.
Pertanto, se non ho sbagliato qualche calcolo, le equazioni di $gamma$ sono date dal sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}(x+\frac{1}{2})^2+(y-1)^2+(z-\frac{1}{2})^2=3\\x+2y+z=2\end{cases} \)
http://www.ilsecoloxix.it/p/genova/2015/04/03/ARN3ND1D-denunciati_disabili_parenti.shtml
"alfredo4":
[size=150]c)[/size]
L'equazione :
$(x+1/2)^2+(y-1)^2+(z-1/2)^2=3$
non rappresenta una circonferenza ma una sfera. Se vuoi avere la circonferenza $gamma$ devi accoppiare l'equazione di detta sfera con quella del piano individuato dalla retta AB e dal punto $P_1$.
Pertanto, se non ho sbagliato qualche calcolo, le equazioni di $gamma$ sono date dal sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}(x+\frac{1}{2})^2+(y-1)^2+(z-\frac{1}{2})^2=3\\x+2y+z=2\end{cases} \)
Ecco cosa mi sono dimenticato, nella fretta ho dimenticato di dire che la circonferenza è tagliata dal piano $ alpha $, speriamo non sia un errore contato troppo
Grazie mille per la risposta e la spiegazione!Quindi i punti precedenti sarebbero giusti?
grazie ancora!Buona serata, Matteo
Gentilmente qualcuno di voi può confermarmi che ho proceduto correttamente per i restanti punti?
Mi premerebbe capire soprattutto se ci sono altre vie per ricavare gli asintoti relativi alla conica studiata!
Grazie ancora, Matteo
Mi premerebbe capire soprattutto se ci sono altre vie per ricavare gli asintoti relativi alla conica studiata!
Grazie ancora, Matteo
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