Conica
ragazzi come faccio usando solo "completamenti di quadrati" e cambiamenti di coordinate a riconoscere la seguente conica?:
$x^2+2xy+y^2-sqrt(2)*(x-y)=0$ senza usare le matrici associate alla conica.
$x^2+2xy+y^2-sqrt(2)*(x-y)=0$ senza usare le matrici associate alla conica.
Risposte
l'unica cosa che riconosco è il quadrato di un binomio...
$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$
$(x+y)^2 -sqrt2(x-y)=0$
$(x+y)^2=sqrt2(x-y)$
$(x+y)^4=2(x-y)^2$
non so se ti può portare da qualche parte...
$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$
$(x+y)^2 -sqrt2(x-y)=0$
$(x+y)^2=sqrt2(x-y)$
$(x+y)^4=2(x-y)^2$
non so se ti può portare da qualche parte...
stessa cosa per $x^2-y^2+y=0$; come faccio a ricondurlo in forma canonica?
$x^2 - (y-1/2)^2 +1/4 = 0$
Paola
Paola
Allora in questo secondo esempio mi trovo, vediamo se ci ho preso:
$x^2 - (y-1/2)^2 + 1/4=0$
$(y-1/2)^2 - x^2= 1/4$
$4(y-1/2)^2 -4x^2=1$
potrebbe essere una iperbole con il punto medio focale spostato rispetto all'origine?
(se ci ho preso provo a vedere dove si trova il punto medio focale e quanto valgono a, b e c)
ma il primo esempio mi lascia ancora in dubbio, puoi illuminarci prime number?
$x^2 - (y-1/2)^2 + 1/4=0$
$(y-1/2)^2 - x^2= 1/4$
$4(y-1/2)^2 -4x^2=1$
potrebbe essere una iperbole con il punto medio focale spostato rispetto all'origine?
(se ci ho preso provo a vedere dove si trova il punto medio focale e quanto valgono a, b e c)
ma il primo esempio mi lascia ancora in dubbio, puoi illuminarci prime number?
Sì è un'iperbole equilatera, con assi di simmetria paralleli all'asse y.
Nel primo esempio, per togliere il termine in xy, credo che devi provare con una rotazione.
Nel primo esempio, per togliere il termine in xy, credo che devi provare con una rotazione.
grazie antimius,
riguardo il secondo esempio: dico una sciocchezza se affermo che i due rami dell'iperbole incontrano l'asse y nei punti di ascissa 0 e +1?
Posso ancora dire che l'iperbole $4y^2 -4x^2=1$ è stata spostata di 1/2 lungo l'asse y e che quindi anche i vertici che prima avevano coordinate (0; +1/2) e (0;-1/2) ora hanno coordinate (0;0) e (0;+1)?
Di conseguenza se prima il punto medio focale coincideva con l'origine ora ha coordinate (0;+1/2)
a=b=1/2
$c^2=a^2 + b^2= 1/2$
$c=1/sqrt2$
Ho fatto giusto o ho sbagliato tutto?
riguardo il secondo esempio: dico una sciocchezza se affermo che i due rami dell'iperbole incontrano l'asse y nei punti di ascissa 0 e +1?
Posso ancora dire che l'iperbole $4y^2 -4x^2=1$ è stata spostata di 1/2 lungo l'asse y e che quindi anche i vertici che prima avevano coordinate (0; +1/2) e (0;-1/2) ora hanno coordinate (0;0) e (0;+1)?
Di conseguenza se prima il punto medio focale coincideva con l'origine ora ha coordinate (0;+1/2)
a=b=1/2
$c^2=a^2 + b^2= 1/2$
$c=1/sqrt2$
Ho fatto giusto o ho sbagliato tutto?
Per il primo esempio devi operare prima una rotazione per togliere il termine $xy$ e poi vedere eventualmente se serve completare i quadrati. Un altro modo è utilizzare autovettori e autovalori per "semplificare" la forma quadratica (i termini di secondo grado).
Traslazioni, ingrandimenti/riduzioni, schiacciamenti, sono trasformazioni che analiticamente ho capito. Per quanto riguarda le rotazioni non le so.
Non devo preparare nessun esame, nè ho alcuna necessità di imparare queste cose... è solo curiosità!
La rotazione che tu mi suggerisci fa coincidere gli assi con le bisettrici dei quadranti?
Non devo preparare nessun esame, nè ho alcuna necessità di imparare queste cose... è solo curiosità!
La rotazione che tu mi suggerisci fa coincidere gli assi con le bisettrici dei quadranti?
gio73 mi trovo con i conti merci per l'aiuto, per il secondo come si effettua la rotazione? la matrice di rotazione è $((cosx,senx),(-senx,cosx))$ come mi ruoto la conica?
ho un'altra domanda: ho l'equazione $x^2+4xy+4y^2-4x=0$ poiché il det della matrice associata $!=0$ e l'invariante quadratico $= 0$ è una parabola: come trovo il vertice?
@gio73: è giusto quel che dici. Quell'iperbole è traslata di 1/2 lungo l'asse y.
@simo90: non ricordo se c'è un modo più veloce per trovare il vertice. Altrimenti, devi portarla in forma canonica (o in una forma in cui sai calcolare il vertice) e poi trovare il vertice con la trasformazione inversa.
In sostanza quello che fai è cambiare riferimento in modo che la parabola assuma una forma "semplice" e trovi il vertice in quel riferimento; dopodiché però a te interessa il vertice nel riferimento originario e quindi devi operare la trasf. inversa. Ma attendi il parere di qualcun altro prima.
@simo90: non ricordo se c'è un modo più veloce per trovare il vertice. Altrimenti, devi portarla in forma canonica (o in una forma in cui sai calcolare il vertice) e poi trovare il vertice con la trasformazione inversa.
In sostanza quello che fai è cambiare riferimento in modo che la parabola assuma una forma "semplice" e trovi il vertice in quel riferimento; dopodiché però a te interessa il vertice nel riferimento originario e quindi devi operare la trasf. inversa. Ma attendi il parere di qualcun altro prima.
"Antimius":
@gio73: è giusto quel che dici. Quell'iperbole è traslata di 1/2 lungo l'asse y
grazie antimius
"simo90":
ho un'altra domanda: ho l'equazione $x^2+4xy+4y^2-4x=0$ poiché il det della matrice associata $!=0$ e l'invariante quadratico $= 0$ è una parabola: come trovo il vertice?
Non lo so assolutamente, ma viste le affermazioni precedenti: per togliere xy bisogna fare una rotazione...
Purtroppo come ti ho già detto le rotazioni proprio non le so!
nessun suggerimento? cmq grazie per le risp
ho pensato che siccome ho la direzione dell'asse r che è un autovettore dell'invariante quadratico posso imporre che la derivata della par sia = alla pendeza di r. Ma come si deriva una funzione a due variabili?
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