Conica

[brollino]

Salve a tutti ho un grosso problemino

dovrei dire che per una conica di secondo grado generale del tipo $ aX^2+2bXY+cY^2+2dX+2eY+f=0 $
Dimostrare che per 5 punti passa una ed una sola conica dicendo che il rango della matrice 5X6 naturalmente è 5,
se invece il rango della matrice è 4 avremmo un'altra cosa (forse che avremo due coniche e che in teria ci sono 4 punti che appartengono a una conica e altri 4 ad un'altra),
se poi il rango è 3 avremo due rette e avremo delle coniche degeneri;
nn voglio la dimostrazione ma magari degli spunti da cui partire io ho costruito la matrice 5X6 naturalmente il rango è 4 quando avrò che il determinate di una sua orlata di ordine 4 è diverso da 0 e quello di ordine 5 uguale a 0, quindi avrò che un punto forse è linearmente dipendente da un altro o una cosa simile....
grazie spero ke mi potete essere d'aiuto

[j18eos]

Matrice [tex]$5\times6$[/tex], a parte che la matrice associata ad una quadrica è quadrata (ed in particolare per le coniche è [tex]$3\times3$[/tex]) ma qual è la dimensione dello spazio ambiente? Inoltre, se la matrice associata ad una quadrica fosse singolare essa sarebbe degenere o singolare, cioè ha almeno un punto doppio!

[brollino]

"j18eos":Matrice [tex]$5\times6$[/tex], a parte che la matrice associata ad una quadrica è quadrata (ed in particolare per le coniche è [tex]$3\times3$[/tex]) ma qual è la dimensione dello spazio ambiente? Inoltre, se la matrice associata ad una quadrica fosse singolare essa sarebbe degenere o singolare, cioè ha almeno un punto doppio!

Forse mi sono espresso male....
devo dimostrare che per 5 punti passa una e una sola conica....con teoremi sull'algebra lineare...
avendo l'equazione $ aX^2+2bXY+cY^2+2dX+2eY+f=0 $ e pensandola di far passare per 5 punti generici si ha la matrice di un sistema lineare di 5 equazioni in 6 incognite, ove le incognite sono a,b,c,d,e,f
quindi si ha una matrice 5x6 in quel senso, dove avremo sulla prima riga la prima eq con il punto uno e così via.....
naturalmente il sistema è omogenero e dato che la matrice 5x6 ha rango uguale a 5 e il rango della matrice completa 5x7 (cioè aggiungengo come colonna la parte omogena del sistema {0,0,0,0,0}) il rango è sempre 5 quindi per Rouché-Capelli si avrà che la soluzione è una sola e avremo la sestupla come soluzione a,b,c,d,e,f in quali mi verificano le 5 eq. dei relativi punti e in più mettendo nell'eq. della conica $ aX^2+2bXY+cY^2+2dX+2eY+f=0 $ ho la conica passante per 5 punti......però nn saprei se basta così xk il mio prof. mi ha detto così ma sicuramente c'è da dire qualcosa di più.....il mio problema come ottengo la sestupla?
Siccome usiamo il potentissimo Mathematica 7; risolve il sistema lineare nelle 5 incongnite e mi trovo a,b,c,d,e al variare del parametro f. Può essere giusto? devo aggiungere altro se mi sei di aiuto grazie ......
Se però ho rango uguale a 4 in teoria ho due coniche che passano per i 4 punti giusto? riusciresti magari a spiegarmi un pò meglio?
Se non erro se 3 punti allineati ottengo una eq. della conica degenere quindi due rette e basta ma il rango della matice è 3?
Spero abbia capito....

[j18eos]

Prima di iniziare ad eseguire i conti, inizia con una semplice considerazione: siano [tex]$3$[/tex] dei [tex]$5$[/tex] assegnati punti allineati, i restanti [tex]$2$[/tex] sono... Rifletti (e non mi scrivere in terza persona )!