Conica
Ciao, sto cercando di risolvere quest'esercizio sulle coniche. In particolare recita:
Nel piano euclideo, si determini la conica che sia tangente alla retta $ x-y+1=0 $ nel punto $ (0,1) $, tangente alla retta $ x+y+2=0 $ nel punto $ (-1,-1) $ e passante per il punto $ (2,1) $. Qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie!
Nel piano euclideo, si determini la conica che sia tangente alla retta $ x-y+1=0 $ nel punto $ (0,1) $, tangente alla retta $ x+y+2=0 $ nel punto $ (-1,-1) $ e passante per il punto $ (2,1) $. Qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie!
Risposte
Considera la trasformazione $(x,y) \rightarrow ( x-y+1,x+y+2)$: le rette tangenti alla conica vengono mandate negli assi, i punti di tangenza in $(1,0)$ e $(0,3)$ e il punto $(2,1)$ in $(2,5)$
Dalle due condizioni di tangenza otteniamo che l'equazione della conica trasformata è del tipo $9x^2+axy+y^2-18x-6y+9=0$ (oppure $xy=0$, ma non è il nostro caso), e imponendo che passi per $(2,5)$ si trova $a=-\frac{2}{5}$, quindi l'equazione della conica di partenza è
$9(x-y+1)^2-\frac{2}{5}(x-y+1)(x+y+2)+(x+y+2)^2-18(x-y+1)-6(x+y+2)+9=0$
che con un po' di conti diventa $12x^2-20xy+13y^2-4x-2y-11=0$
Dalle due condizioni di tangenza otteniamo che l'equazione della conica trasformata è del tipo $9x^2+axy+y^2-18x-6y+9=0$ (oppure $xy=0$, ma non è il nostro caso), e imponendo che passi per $(2,5)$ si trova $a=-\frac{2}{5}$, quindi l'equazione della conica di partenza è
$9(x-y+1)^2-\frac{2}{5}(x-y+1)(x+y+2)+(x+y+2)^2-18(x-y+1)-6(x+y+2)+9=0$
che con un po' di conti diventa $12x^2-20xy+13y^2-4x-2y-11=0$
Ciao, grazie per la risposta. Io avevo pensato di sfruttare il fatto che le tangenti sono diametri autoconiugati (?). E' una strada giusta quella oppure no?
Chiedo scusa per l'intromissione e per aver riesumato il post, ma mi ritrovo in un esercizio simile e vorrei chiarimenti su come hai ricavato l'equazione della conica trasformata attraverso le due condizioni di tangenza.
Grazie per eventuali risposte
Grazie per eventuali risposte
La conica si può determinare anche senza l'uso di particolari trasformazioni. Precisamente la nostra conica
appartiene al fascio determinato da 2 coniche degeneri di cui la prima si spezza nelle due tangenti e la seconda
nella retta congiungente i punti di contatto, contata due volte. Pertanto l'equazione del fascio è :
(A) $\lambda(x-y+1)(x+y+2)+\mu(2x-y+1)^2=0$
Imponendo il passaggio per il punto $(2,1)$ si ha:
$5\lambda+8\mu=0$
Scegliendo $\lambda=8,\mu=-5$ e sostituendo nella (A) risulta:
$\8(x-y+1)(x+y+2)-5(2x-y+1)^2=0$
Sviluppando e facendo qualche semplice calcolo si ottiene il risultato già indicato da Spugna.
appartiene al fascio determinato da 2 coniche degeneri di cui la prima si spezza nelle due tangenti e la seconda
nella retta congiungente i punti di contatto, contata due volte. Pertanto l'equazione del fascio è :
(A) $\lambda(x-y+1)(x+y+2)+\mu(2x-y+1)^2=0$
Imponendo il passaggio per il punto $(2,1)$ si ha:
$5\lambda+8\mu=0$
Scegliendo $\lambda=8,\mu=-5$ e sostituendo nella (A) risulta:
$\8(x-y+1)(x+y+2)-5(2x-y+1)^2=0$
Sviluppando e facendo qualche semplice calcolo si ottiene il risultato già indicato da Spugna.