Conica

[Rebdiluca]

Ciao, sto cercando di risolvere quest'esercizio sulle coniche. In particolare recita:
Nel piano euclideo, si determini la conica che sia tangente alla retta $ x-y+1=0 $ nel punto $ (0,1) $, tangente alla retta $ x+y+2=0 $ nel punto $ (-1,-1) $ e passante per il punto $ (2,1) $. Qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie!

[spugna2]

Considera la trasformazione $(x,y) \rightarrow ( x-y+1,x+y+2)$: le rette tangenti alla conica vengono mandate negli assi, i punti di tangenza in $(1,0)$ e $(0,3)$ e il punto $(2,1)$ in $(2,5)$

Dalle due condizioni di tangenza otteniamo che l'equazione della conica trasformata è del tipo $9x^2+axy+y^2-18x-6y+9=0$ (oppure $xy=0$, ma non è il nostro caso), e imponendo che passi per $(2,5)$ si trova $a=-\frac{2}{5}$, quindi l'equazione della conica di partenza è
$9(x-y+1)^2-\frac{2}{5}(x-y+1)(x+y+2)+(x+y+2)^2-18(x-y+1)-6(x+y+2)+9=0$
che con un po' di conti diventa $12x^2-20xy+13y^2-4x-2y-11=0$

[Rebdiluca]

Ciao, grazie per la risposta. Io avevo pensato di sfruttare il fatto che le tangenti sono diametri autoconiugati (?). E' una strada giusta quella oppure no?

[Dave971]

Chiedo scusa per l'intromissione e per aver riesumato il post, ma mi ritrovo in un esercizio simile e vorrei chiarimenti su come hai ricavato l'equazione della conica trasformata attraverso le due condizioni di tangenza.
Grazie per eventuali risposte

[sandroroma]

La conica si può determinare anche senza l'uso di particolari trasformazioni. Precisamente la nostra conica
appartiene al fascio determinato da 2 coniche degeneri di cui la prima si spezza nelle due tangenti e la seconda
nella retta congiungente i punti di contatto, contata due volte. Pertanto l'equazione del fascio è :
(A) $\lambda(x-y+1)(x+y+2)+\mu(2x-y+1)^2=0$
Imponendo il passaggio per il punto $(2,1)$ si ha:
$5\lambda+8\mu=0$
Scegliendo $\lambda=8,\mu=-5$ e sostituendo nella (A) risulta:
$\8(x-y+1)(x+y+2)-5(2x-y+1)^2=0$
Sviluppando e facendo qualche semplice calcolo si ottiene il risultato già indicato da Spugna.