Congettura sui rivestimenti
Svolgende alcuni esercizi dal Munkres mi è venuta questa idea (certamente sbagliata xD) che mi piacerebbe poter confermare o confutare...
Sia $T$ un proprietà topologica e scriviamo $T(X)$ per indicare che lo spazio $X$ possiede la proprietà $T$. Una proprietà si dice ereditaria se $T(X)$ implica $T(A)$ per ogni sottospazio $A \subset X$ e si dice debolmente ereditaria se $T(X)$ implica $T(C)$ per ogni sottospazio chiuso $C \subset X$. Domanda
Sia $p: E \rightarrow B$ un rivestimento, è vero che
1) Se $T$ è ereditaria allora $T(B) \rightarrow T(E)$ ?
2) Se $T$ è debolmente ereditaria allora $T(B) \rightarrow T(E)$ ?
E se riconsideriamo le affermazioni 1) e 2) aggiungendo l'ipotesi che $T(p^{-1}(b))$ per ogni $b \in B$ ??
Questa cosa nasce dall'osservazione che se scelgo un ricoprimento di $B$ fatto da insiemi $V_{\alpha}$ evenly covered, allora $T(V_\alpha)$ e per ogni $\alpha$ posso usare $p$ per trovare una partizione di $p^{-1}(V_\alpha)$ fatta di aperti omeomorfi a $V_{\alpha}$ e che pertanto godono della proprietà $T$. Quindi $E$ si può esprimere come unione di una o più famiglie di aperti aventi la proprietà $T$. Da qui potrei arrivare a dimostrare 1) ? Boh
Chiedo scusa in anticipo se la domanda dovesse rivelarsi puerile...
Sia $T$ un proprietà topologica e scriviamo $T(X)$ per indicare che lo spazio $X$ possiede la proprietà $T$. Una proprietà si dice ereditaria se $T(X)$ implica $T(A)$ per ogni sottospazio $A \subset X$ e si dice debolmente ereditaria se $T(X)$ implica $T(C)$ per ogni sottospazio chiuso $C \subset X$. Domanda
Sia $p: E \rightarrow B$ un rivestimento, è vero che
1) Se $T$ è ereditaria allora $T(B) \rightarrow T(E)$ ?
2) Se $T$ è debolmente ereditaria allora $T(B) \rightarrow T(E)$ ?
E se riconsideriamo le affermazioni 1) e 2) aggiungendo l'ipotesi che $T(p^{-1}(b))$ per ogni $b \in B$ ??
Questa cosa nasce dall'osservazione che se scelgo un ricoprimento di $B$ fatto da insiemi $V_{\alpha}$ evenly covered, allora $T(V_\alpha)$ e per ogni $\alpha$ posso usare $p$ per trovare una partizione di $p^{-1}(V_\alpha)$ fatta di aperti omeomorfi a $V_{\alpha}$ e che pertanto godono della proprietà $T$. Quindi $E$ si può esprimere come unione di una o più famiglie di aperti aventi la proprietà $T$. Da qui potrei arrivare a dimostrare 1) ? Boh
Chiedo scusa in anticipo se la domanda dovesse rivelarsi puerile...
Risposte
Attenzione, ogni sottospazio proprio chiuso di $R^n$ è compatto, ma lui non lo è. Non dare per scontato che una proprietà locale implichi qualcosa di globale. Inoltre devi supporre che la proprietà sia mantenuta da funzioni continue.
Grazie vict 
è questo è vero, però esiste un risultato molto simpatico che dice che se $p: E \rightarrow B$ è un rivestimento, $B$ è compatto e $p^{-1}(b)$ è finito per ogni $b \in B$ allora $E$ è compatto.
Non lo do per scontato, pensavo solo che l'esistenza di un rivestimento più qualche ipotesi aggiuntiva abbastanza buona tipo $T(p^{-1}(b))$ potesse fare la differenza
Per questo ho detto proprietà topologica cioè che viene conservata dagli omeomorfismi, pensavo questo potesse bastare dato che ogni rivestimento è un omeomorfismo locale
"vict85":
Attenzione, ogni sottospazio proprio chiuso di Rn è compatto, ma lui non lo è
è questo è vero, però esiste un risultato molto simpatico che dice che se $p: E \rightarrow B$ è un rivestimento, $B$ è compatto e $p^{-1}(b)$ è finito per ogni $b \in B$ allora $E$ è compatto.
"vict85":
Non dare per scontato che una proprietà locale implichi qualcosa di globale.
Non lo do per scontato, pensavo solo che l'esistenza di un rivestimento più qualche ipotesi aggiuntiva abbastanza buona tipo $T(p^{-1}(b))$ potesse fare la differenza
"vict85":
Inoltre devi supporre che la proprietà sia mantenuta da funzioni continue.
Per questo ho detto proprietà topologica cioè che viene conservata dagli omeomorfismi, pensavo questo potesse bastare dato che ogni rivestimento è un omeomorfismo locale
L'ipotesi \(T (p^{-1}(b)) \) per ogni \(b \in B\) è necessaria: basta considerare \(T(X)\) = "\(X\) è finito".
Falso.
vict85 ha scritto:
Attenzione, ogni sottospazio proprio chiuso di Rn è compatto, ma lui non lo è
Falso.
"elvis":
vict85 ha scritto:
Attenzione, ogni sottospazio proprio chiuso di Rn è compatto, ma lui non lo è
Falso.
Ah gia è vero devono essere chiusi è limitati...
"elvis":
L'ipotesi T(p−1(b)) per ogni b∈B è necessaria: basta considerare T(X) = "X è finito".
Hai ragione elvis qualche ipotesi aggiuntiva ci vuole. Tu pensi che $T(p^{-1}(b))$ sia anche sufficiente per dimostrare quelle due affermazioni ?? grazie
Controlla se funziona questo controesempio. Considera \(T(X) \) = "\(X\) ha la topologia cofinita" = "se \(U\) è chiuso in \(X\), allora \(U\) è finito oppure \(U = X\) " (la topologia cofinita è ereditaria).
Prendi \(\mathbb{N}\) con la topologia cofinita e \(F\) uno spazio discreto finito (in particolare vale \(T(F)\)). La proiezione sul primo fattore \(p \, \colon \mathbb{N} \times F \to \mathbb{N} \) è un rivestimento e vale \(T(p^{-1}(n))\) per ogni \(n \in \mathbb{N}\), ma, se \(F\) ha più di un elemento, lo spazio \(\mathbb{N} \times F\) non ha la topologia cofinita.
Prendi \(\mathbb{N}\) con la topologia cofinita e \(F\) uno spazio discreto finito (in particolare vale \(T(F)\)). La proiezione sul primo fattore \(p \, \colon \mathbb{N} \times F \to \mathbb{N} \) è un rivestimento e vale \(T(p^{-1}(n))\) per ogni \(n \in \mathbb{N}\), ma, se \(F\) ha più di un elemento, lo spazio \(\mathbb{N} \times F\) non ha la topologia cofinita.
Mi sembra tutto corretto. Grazie elvis! 
X Elvis: 
Considerando che era evidentemente una svista data da una risposta veloce, avresti almeno potuto correggere la svista invece di dire solo che era falsa. Segnalare che c'é un errore senza dire quale non è particolarmente costruttivo; inoltre richiede che qualcun altro si metta a trovarlo e segnalarlo.
Considerando che era evidentemente una svista data da una risposta veloce, avresti almeno potuto correggere la svista invece di dire solo che era falsa. Segnalare che c'é un errore senza dire quale non è particolarmente costruttivo; inoltre richiede che qualcun altro si metta a trovarlo e segnalarlo.
@ vict85
Già, il mio voleva essere appunto un invito a evitare le risposte veloci. Non ci si mette niente a rileggersi due righi prima di postarli. Saluti.
Già, il mio voleva essere appunto un invito a evitare le risposte veloci. Non ci si mette niente a rileggersi due righi prima di postarli. Saluti.
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