Confusione sul concetto di spazio direttore e rif. affini.
Faccio un po' di confusione (tanto per cambiare) con il concetto di spazio direttore.
Forse è meglio che posto prima il problema e poi parto da lì per discuterlo. Magari evidenzio la parte importante in grassetto, per evitare di rendere il discorso più pesante di quanto non sia già. Se il moderatore riterrà opportuno farmi cambiare tale "irregolarità", che me lo dica
, provvederò all'istante.
Parto dalla retta, che è l'unico ente geometrico finora affrontato (conto nei prossimi giorni di approfondire gli altri, ma per il momento mi interessa capire questo).
Esistono due modi di rappresentarla.
L'equazione cartesiana, che come mi pare di leggere tra le linee di quello che dice il mio professore è una rappresentazione fatta sfruttando il concetto euclideo secondo cui servono necessariamente due punti per rappresentare una retta;
L'equazione parametrica, che invece sfrutta il concetto secondo cui per rappresentare una retta servono un punto e una direzione.
Poi chiaramente c'è il modo con cui si passa da una rappresentazione all'altra. Passare dall' equazione parametrica a quella cartesiana non mi è molto difficile capirlo, anche a livello concettuale (io "ci metto in mezzo" anche riflessioni sugli "incrementi", anche se non ho a che fare con funzioni, ma ovviamente me le tengo per me;-) ).
A livello concettuale, invece, sorgono alcuni dubbi su come passare dall' equazione cartesiana a quella parametrica.
Al livello con cui siamo stati costretti ad approfondire gli studi di geometria, ho visto come modo per passare da una forma all'altra quella di considerare:
1)una direzione (rappresentata da un vettore) ortogonale alla retta espressa in forma cartesiana: sappiamo infatti che i coefficienti di una retta-sottospazio (e non sottospazio affine), sono i coefficienti di un vettore ortogonale a tutti i vettori individuati da una retta, ed inoltre sappiamo che il sottospazio generato dal vettore ortogonale, che chiamo $u$ è un sottospazio unidimensionale. Data quindi l'equazione di una retta passante per l'origine, $ax+by=0$, il prodotto scalare è nullo.
Se prendo una retta $ax+by+c=0$, con $a, b, c$ non nulli, questo è un sottospazio affine, in quanto non passa per l'origine. Se prendo il vettore $(a, b)$, che come sappiamo dalla teoria sul prodotto scalare, e lo moltiplico per un generico vettore stante sulla retta, il prodotto scalare è nullo anche in questo caso.
Qualsiasi vettore multiplo di $(a, b)$ è ortogonale alla retta, e questo penso sia altrettanto dimostrabile ricorrendo alla teoria sul prodotto scalare, oltre che da semplici considerazioni "visive". E' questo il motivo per cui due espressioni $ax+by+ c=0$ e $a'x+b'y+c'=0$, con $a', b', c'$ multipli di $a, b, c$ rappresentano la stessa retta.
2) Dopo aver trovato un vettore ortogonale alla retta, infine, un vettore ortogonale a $(a, b)$, trovo una direzione della retta, rappresentabile da un vettore $(-b, a)$.
3) Dopodichè costruirei l'equazione parametrica in questo modo:
$x=x_P + \lambda (-b)$
$y=y_P + \lambda (a)$,
dove $P$ è il punto di applicazione del vettore-direzione
L'asino sembra cascare (e nella fattispecie lo sottoponiamo a un moto di tipo "lineare"
) quando mi viene detto che "ogni vettore parallelo a $(-b, a)$ può essere una direzione per la retta $ax+by+c = 0$ (così come ogni vettore parallelo a $(b, a)$ è perpendicolare a $ax+by+c=0$). Questa è sempre una cosa che leggo tra le righe, e che qui voglio finalmente "risolvere", col vostro aiuto.
E' vero questo? Se sì, che si intende con il dire che ogni vettore parallelo alla retta è uno spazio direttore per la retta? Perchè se si si dice che ogni vettore parallelo alla retta è una direzione della retta, allora io torno alla definizione che mi è stata data di termini come direzione, giacitura, e vedo che questi si riferiscono proprio agli spazi direttori. Però chiaramente questo va contro l'intuizione, se sappiamo che lo spazio direttore è un sottospazio che passa per il centro.
L'unica spiegazione per dire che ogni vettore parallelo alla retta indicherebbe una sua direzione è quello di considerare il punto di applicazione di ogni vettore come l'origine di un sistema di riferimento. Quindi di considerare per ogni vettore parallelo alla retta un sistema di riferimento affine individuato da un' origine nel punto di applicazione del vettore e da una base ordinata $(i, j, k)$, in grado di esprimere il vettore come "propria" combinazione lineare. In tal modo, la retta su cui giace il vettore passerebbe per il centro, e sarebbe quindi un sottospazio vettoriale, per la cronaca di dimensione 1.
Praticamente, ora, sviluppo l'esercizio, basandomi anche su quanto ho appena detto. Ho la retta $x-3y+5=0$. Ho che una direzione della retta, come sviluppato prima, è il vettore $(3, 1)$. Come detto ad inizio thread, mi serve un punto della retta per soddisfare Euclide, ossia per tracciare la retta conoscendo già la direzione. Viene impostata la classica tabella che si faceva alle scuole superiori, e si trova un punto. Dopodichè il gioco è fatto, poichè viene considerato come punto $P$ il punto così trovato.
Io ho provato a pensare a come inserire in questo discorso il fatto che ogni vettore parallelo a $(-b, a)$ possa essere preso come direzione della retta. La risposta mi sembra banale, ma io non mi fido.
E' un discorso grafico elementare. Prendo un vettore applicato nell' origine, di coordinate (1, 1). Se lo traslo in modo che sia applicato nel punto A (1, 5), avrà come coordinate $(1+1, 5+1)$, punto che chiamiamo $B$. Esse saranno le coordinate del punto libero del vettore nel vecchio sistema di riferimento, mentre il vettore avrà componenti $(2-1; 6-5)$, rispetto al nuovo sistema di riferimento. Se noi, rispetto al vecchio sistema di riferimento, esprimiamo il vettore come $(x_B - x_A, y_B - y_a)$, allora avremo risultati analoghi nella rappresentazione cartesiana.
Che cambierà solo in base al punto $P$ considerato.
In base all'enorme mole di parole scritte, è possibile quindi giustificare il fatto che si può dire che ogni vettore parallelo ad uno applicato in un' origine O di un sistema di riferimento "iniziale", parallelo a una retta, rappresenti una direzione per una retta? Anzi, che è possibile fissare una serie infinita di vettori-direzioni in quanto è possibile fissare una serie infinita di sistemi di riferimento affini nello spazio $S$, lo spazio ordinario?
Forse è meglio che posto prima il problema e poi parto da lì per discuterlo. Magari evidenzio la parte importante in grassetto, per evitare di rendere il discorso più pesante di quanto non sia già. Se il moderatore riterrà opportuno farmi cambiare tale "irregolarità", che me lo dica
, provvederò all'istante. Parto dalla retta, che è l'unico ente geometrico finora affrontato (conto nei prossimi giorni di approfondire gli altri, ma per il momento mi interessa capire questo).
Esistono due modi di rappresentarla.
L'equazione cartesiana, che come mi pare di leggere tra le linee di quello che dice il mio professore è una rappresentazione fatta sfruttando il concetto euclideo secondo cui servono necessariamente due punti per rappresentare una retta;
L'equazione parametrica, che invece sfrutta il concetto secondo cui per rappresentare una retta servono un punto e una direzione.
Poi chiaramente c'è il modo con cui si passa da una rappresentazione all'altra. Passare dall' equazione parametrica a quella cartesiana non mi è molto difficile capirlo, anche a livello concettuale (io "ci metto in mezzo" anche riflessioni sugli "incrementi", anche se non ho a che fare con funzioni, ma ovviamente me le tengo per me;-) ).
A livello concettuale, invece, sorgono alcuni dubbi su come passare dall' equazione cartesiana a quella parametrica.
Al livello con cui siamo stati costretti ad approfondire gli studi di geometria, ho visto come modo per passare da una forma all'altra quella di considerare:
1)una direzione (rappresentata da un vettore) ortogonale alla retta espressa in forma cartesiana: sappiamo infatti che i coefficienti di una retta-sottospazio (e non sottospazio affine), sono i coefficienti di un vettore ortogonale a tutti i vettori individuati da una retta, ed inoltre sappiamo che il sottospazio generato dal vettore ortogonale, che chiamo $u$ è un sottospazio unidimensionale. Data quindi l'equazione di una retta passante per l'origine, $ax+by=0$, il prodotto scalare è nullo.
Se prendo una retta $ax+by+c=0$, con $a, b, c$ non nulli, questo è un sottospazio affine, in quanto non passa per l'origine. Se prendo il vettore $(a, b)$, che come sappiamo dalla teoria sul prodotto scalare, e lo moltiplico per un generico vettore stante sulla retta, il prodotto scalare è nullo anche in questo caso.
Qualsiasi vettore multiplo di $(a, b)$ è ortogonale alla retta, e questo penso sia altrettanto dimostrabile ricorrendo alla teoria sul prodotto scalare, oltre che da semplici considerazioni "visive". E' questo il motivo per cui due espressioni $ax+by+ c=0$ e $a'x+b'y+c'=0$, con $a', b', c'$ multipli di $a, b, c$ rappresentano la stessa retta.
2) Dopo aver trovato un vettore ortogonale alla retta, infine, un vettore ortogonale a $(a, b)$, trovo una direzione della retta, rappresentabile da un vettore $(-b, a)$.
3) Dopodichè costruirei l'equazione parametrica in questo modo:
$x=x_P + \lambda (-b)$
$y=y_P + \lambda (a)$,
dove $P$ è il punto di applicazione del vettore-direzione
L'asino sembra cascare (e nella fattispecie lo sottoponiamo a un moto di tipo "lineare"
) quando mi viene detto che "ogni vettore parallelo a $(-b, a)$ può essere una direzione per la retta $ax+by+c = 0$ (così come ogni vettore parallelo a $(b, a)$ è perpendicolare a $ax+by+c=0$). Questa è sempre una cosa che leggo tra le righe, e che qui voglio finalmente "risolvere", col vostro aiuto.E' vero questo? Se sì, che si intende con il dire che ogni vettore parallelo alla retta è uno spazio direttore per la retta? Perchè se si si dice che ogni vettore parallelo alla retta è una direzione della retta, allora io torno alla definizione che mi è stata data di termini come direzione, giacitura, e vedo che questi si riferiscono proprio agli spazi direttori. Però chiaramente questo va contro l'intuizione, se sappiamo che lo spazio direttore è un sottospazio che passa per il centro.
L'unica spiegazione per dire che ogni vettore parallelo alla retta indicherebbe una sua direzione è quello di considerare il punto di applicazione di ogni vettore come l'origine di un sistema di riferimento. Quindi di considerare per ogni vettore parallelo alla retta un sistema di riferimento affine individuato da un' origine nel punto di applicazione del vettore e da una base ordinata $(i, j, k)$, in grado di esprimere il vettore come "propria" combinazione lineare. In tal modo, la retta su cui giace il vettore passerebbe per il centro, e sarebbe quindi un sottospazio vettoriale, per la cronaca di dimensione 1.
Praticamente, ora, sviluppo l'esercizio, basandomi anche su quanto ho appena detto. Ho la retta $x-3y+5=0$. Ho che una direzione della retta, come sviluppato prima, è il vettore $(3, 1)$. Come detto ad inizio thread, mi serve un punto della retta per soddisfare Euclide, ossia per tracciare la retta conoscendo già la direzione. Viene impostata la classica tabella che si faceva alle scuole superiori, e si trova un punto. Dopodichè il gioco è fatto, poichè viene considerato come punto $P$ il punto così trovato.
Io ho provato a pensare a come inserire in questo discorso il fatto che ogni vettore parallelo a $(-b, a)$ possa essere preso come direzione della retta. La risposta mi sembra banale, ma io non mi fido.
E' un discorso grafico elementare. Prendo un vettore applicato nell' origine, di coordinate (1, 1). Se lo traslo in modo che sia applicato nel punto A (1, 5), avrà come coordinate $(1+1, 5+1)$, punto che chiamiamo $B$. Esse saranno le coordinate del punto libero del vettore nel vecchio sistema di riferimento, mentre il vettore avrà componenti $(2-1; 6-5)$, rispetto al nuovo sistema di riferimento. Se noi, rispetto al vecchio sistema di riferimento, esprimiamo il vettore come $(x_B - x_A, y_B - y_a)$, allora avremo risultati analoghi nella rappresentazione cartesiana.
Che cambierà solo in base al punto $P$ considerato.
In base all'enorme mole di parole scritte, è possibile quindi giustificare il fatto che si può dire che ogni vettore parallelo ad uno applicato in un' origine O di un sistema di riferimento "iniziale", parallelo a una retta, rappresenti una direzione per una retta? Anzi, che è possibile fissare una serie infinita di vettori-direzioni in quanto è possibile fissare una serie infinita di sistemi di riferimento affini nello spazio $S$, lo spazio ordinario?
Risposte
"turtle87":
...
A livello concettuale, invece, sorgono alcuni dubbi su come passare dall' equazione cartesiana a quella parametrica.
...
Non è difficile.
Se ti riferisci alle rette nel piano, segui questo mio esempio:
$3x + 5y - 2 = 0$
ti ricavi una delle due variabili, facciamo $y$:
$y = (2 - 3x)/5$
l'equazione parametrica si ricava sostituendo a $x$ il parametro $t$:
$((x),(y)) = ((t),((2-3t)/5))$
"franced":
l'equazione parametrica si ricava sostituendo a $x$ il parametro $t$:
$((x),(y)) = ((t),((2-3t)/5))$
che possiamo anche riscrivere nel modo seguente:
$((x),(y)) = ((0),(2/5)) + t * ((1),(-3/5))$
"franced":
[quote="franced"]
l'equazione parametrica si ricava sostituendo a $x$ il parametro $t$:
$((x),(y)) = ((t),((2-3t)/5))$
che possiamo anche riscrivere nel modo seguente:
$((x),(y)) = ((0),(2/5)) + t * ((1),(-3/5))$[/quote]
Per togliere quelle frazioni puoi moltiplicare per $5$ il vettore direttore della retta, ottenendo così:
$((x),(y)) = ((0),(2/5)) + t * ((5),(-3))$ .
Se vuoi una regoletta veloce puoi seguire anche questo procedimento:
data la retta di equazione cartesiana
$ax+by+c=0$
l'equazione parametrica della retta è data da:
$((x),(y)) = ((x_0),(y_0)) + t * ((b),(-a))$
dove $((x_0),(y_0))$ è un punto qualsiasi della retta.
Il motivo di ciò sta nel fatto che la retta $ax+by+c=0$ è ortogonale al vettore $((a),(b))$
e quindi il suo vettore direttore sarà del tipo $((b),(-a))$ (chiaramente va bene anche $((-b),(a))$).
data la retta di equazione cartesiana
$ax+by+c=0$
l'equazione parametrica della retta è data da:
$((x),(y)) = ((x_0),(y_0)) + t * ((b),(-a))$
dove $((x_0),(y_0))$ è un punto qualsiasi della retta.
Il motivo di ciò sta nel fatto che la retta $ax+by+c=0$ è ortogonale al vettore $((a),(b))$
e quindi il suo vettore direttore sarà del tipo $((b),(-a))$ (chiaramente va bene anche $((-b),(a))$).
Io direi, ancora più velocemente:
"passare da equazioni cartesiane a equazioni parametriche" è esattamente quello a cui in genere ci si riferisce quando si dice "risolvere un sistema di equazioni lineari".
"passare da equazioni cartesiane a equazioni parametriche" è esattamente quello a cui in genere ci si riferisce quando si dice "risolvere un sistema di equazioni lineari".
Raga', perdonatemi.
Tutto l'informe parolaio che accompagna il problema quanti buchi o imprecisioni ha?
Tutto l'informe parolaio che accompagna il problema quanti buchi o imprecisioni ha?
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