Confronto tra topologie indotte
Buongiorno a tutti.
Ho un problema con questo esercizio di topologia. Prendete [tex]\mathbb{R}^{\star}:=\mathbb{R} \setminus \{0\}[/tex], insomma i reali non nulli. Adesso immergiamo questo spazio prima in [tex]\mathbb{R}[/tex], poi in [tex]\mathbb{R} \times \mathbb{R}[/tex].
Per [tex]\mathbb{R}[/tex] consideriamo l'inclusione canonica [tex]i:\, \mathbb{R}^{\star} \hookrightarrow \mathbb{R}[/tex] che manda [tex]x \mapsto x[/tex]; per [tex]\mathbb{R}^{2}[/tex] abbiamo invece definita [tex]j: \, \mathbb{R}^{\star} \hookrightarrow \mathbb{R} \times \mathbb{R}[/tex] che lavora così: [tex]\displaystyle t \mapsto \left(t,\frac{1}{t}\right)[/tex].
Allora la domanda è questa: come sono le topologie indotte su [tex]\mathbb{R}^{\star}[/tex] da [tex]i[/tex] e [tex]j[/tex]?
Il testo non lo precisa, quindi ho assunto su [tex]\mathbb{R}[/tex] e su [tex]\mathbb{R} \times \mathbb{R}[/tex] la topologia standard. Detto questo, a me le due topologie indotte sembrano la stessa: da una parte ho come aperti gli aperti di [tex]\mathbb{R}[/tex] interesecati con [tex]\mathbb{R}^{\star}[/tex]; dall'altra, ho le palle aperte di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] intersecate con i rami dell'iperbole equilatera di equazione [tex]xy=1[/tex].
Non vedo differenze: gli aperti di una dovrebbero essere esattamente gli aperti dell'altra, ma forse mi sto perdendo qualcosa.
Potete darmi una mano per piacere?
Grazie
Ho un problema con questo esercizio di topologia. Prendete [tex]\mathbb{R}^{\star}:=\mathbb{R} \setminus \{0\}[/tex], insomma i reali non nulli. Adesso immergiamo questo spazio prima in [tex]\mathbb{R}[/tex], poi in [tex]\mathbb{R} \times \mathbb{R}[/tex].
Per [tex]\mathbb{R}[/tex] consideriamo l'inclusione canonica [tex]i:\, \mathbb{R}^{\star} \hookrightarrow \mathbb{R}[/tex] che manda [tex]x \mapsto x[/tex]; per [tex]\mathbb{R}^{2}[/tex] abbiamo invece definita [tex]j: \, \mathbb{R}^{\star} \hookrightarrow \mathbb{R} \times \mathbb{R}[/tex] che lavora così: [tex]\displaystyle t \mapsto \left(t,\frac{1}{t}\right)[/tex].
Allora la domanda è questa: come sono le topologie indotte su [tex]\mathbb{R}^{\star}[/tex] da [tex]i[/tex] e [tex]j[/tex]?
Il testo non lo precisa, quindi ho assunto su [tex]\mathbb{R}[/tex] e su [tex]\mathbb{R} \times \mathbb{R}[/tex] la topologia standard. Detto questo, a me le due topologie indotte sembrano la stessa: da una parte ho come aperti gli aperti di [tex]\mathbb{R}[/tex] interesecati con [tex]\mathbb{R}^{\star}[/tex]; dall'altra, ho le palle aperte di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] intersecate con i rami dell'iperbole equilatera di equazione [tex]xy=1[/tex].
Non vedo differenze: gli aperti di una dovrebbero essere esattamente gli aperti dell'altra, ma forse mi sto perdendo qualcosa.
Potete darmi una mano per piacere?
Grazie
Risposte
secondo me è giusta la reappresentazione che ti sei fatto delle topologie. La topologia indotta è la più piccola che permette all'inclusione di essere continua. Se l'inclusione è "stramba" è prevedibile che sia stramba la topologia...
E' giusto. In entrambi i casi stai immergendo lo spazio $RR^\star$ in uno spazio più grande. (Per immersione in un contesto geometrico intendo una applicazione continua, ingettiva, con inversa sinistra continua rispetto alla topologia di sottospazio).
Ok, vi ringrazio molto per i vostri interventi.
E' che il dubbio nasceva proprio dall'esercizio (è sui fogli di esercizi del prof, non è preso da un libro): si chiedeva di mostrare che le topologie indotte erano diverse e si chiedeva addirittura di trovare una funzione definita su [tex]\mathbb{R}^\star[/tex] continua per una topologia ([tex]i[/tex]) ma non per l'altra ([tex]j[/tex]).
Concludo quindi che l'esercizio, per come è scritto, è completamente da buttare.
E' che il dubbio nasceva proprio dall'esercizio (è sui fogli di esercizi del prof, non è preso da un libro): si chiedeva di mostrare che le topologie indotte erano diverse e si chiedeva addirittura di trovare una funzione definita su [tex]\mathbb{R}^\star[/tex] continua per una topologia ([tex]i[/tex]) ma non per l'altra ([tex]j[/tex]).
Concludo quindi che l'esercizio, per come è scritto, è completamente da buttare.
"Paolo90":
Concludo quindi che l'esercizio, per come è scritto, è completamente da buttare.
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