Conferma su es sottospazi

[daniele_cmp]

Salve, avrei bisogno di uan conferma su questo esercizio. Il testo è il seguente:

Si considerino in $RR^4$ i vettori $v=((1),(0),(2),(-1))$, $t_1=((1),(1),(0),(0))$, $t_2=((0),(2),(1),(1))$.
1) Determinare l'insieme S dei vettori di $RR^4$ ortogonali a v e verificare che S è un sottospazio di $RR^4$.
2)Determianre il generico vettore ed una base del sottospazio $S nn T$, essendo $T=$.

Io ho risolto così.

1) $w=((x),(y),(z),(t))$, $v^^w=x+2z-t$. Quindi $S={((x),(y),(z),(t)) \\ x+2z-t=0}$. Si verifica che è sottospazio.

2) $T=$$=r((1),(1),(0),(0))+s((0),(2),(1),(1))$. Trovo le equazioni cartesiane di T. $rg((x,1,0),(y,1,2),(z,0,1),(t,0,1))=2$ (visto che $t_1$ e $t_2$ sono una base di T), quindi ${(det((x,1,0),(y,1,2),(z,0,1))=0),(det((x,1,0),(y,1,2),(t,0,1))=0):}$, da cui ${(x-y+2z=0),(x-y+2t=0):}$. Poi facendo il sistema anche con l'equazione di S, viene ${(x+2z-t=0),(x-y+2z=0),(x-y+2t=0):}$ che ha per soluzioni ${(x=2k),(y=k),(z=k),(t=k):}$. Per cui $S nn T={k((2),(1),(1),(1))}$, ed una base è appunto $((2),(1),(1),(1))$.

Che dite, è giusto?

Grazie

[n.icola114]

per il primo, ma non ne sono sicuro
credo che l'insieme $S$ sia ${(x, y, z, t) : x + 2z - t = 0}$

[n.icola114]

scusa ma non avevo letto tutto il tuo messaggio,
comunque il primo sembra che l'abbiamo fatto uguale

[Sk_Anonymous]

Per il II punto dovrebbe essere sufficiente scrivere il vettore generico di S:
$((x),(y),(2z),(x+2z))$
e il vettore generico di T:
$((r),(r+2s),(s),(s))$
e poi eguagliare le componenti, visto che i vettori stanno nell'intersezione

[daniele_cmp]

"yavanna":Per il II punto dovrebbe essere sufficiente scrivere il vettore generico di S:
$((x),(y),(2z),(x+2z))$

Ma avendo l'equazione cartesiana di un sottospazio, per trovare il generico elemento non si dovrebbe risolvere il sistema? Cioè x+2z-t=0 --> ad es t=x+2z --> assegno x=a, y=b, z=c, per cui il generico elemento è $((a),(b),(c),(a+2c))$, oppure $((x),(y),(z),(x+2z))$? Come mai a te è venuto quel "2z"?

"yavanna":e il vettore generico di T:
$((r),(r+2s),(s),(s))$
e poi eguagliare le componenti, visto che i vettori stanno nell'intersezione

Poi come trovi una base? Potresti fare qualche passaggio?