Conferma risoluzione problema trasformazioni 3D
Salve a tutti! scrivo perché vorrei una conferma o una correzione di come ho "tentato" di risolvere un problema. Il testo dice:
Si consideri la circonferenza centrata nel punto C(0, 3, 0), raggio R = 2 e giacente nel piano yz. Scrivere una
parametrizzazione della curva e una parametrizzazione della superficie che si ottiene applicando alla circonferenza
le seguenti trasformazioni
(a) Rotazione intorno all'asse delle quote di ampiezza a(v) = v, v compreso tra [0, 3π]
(b) Traslazione di vettore b(v) = 2/3vk, v compreso tra [0, 3π]
come soluzione ho pensato:
= <0;2cost;2sent+3> x + <0;0;2/3v>
cioè la parametrizzazione della circonferenza x la matrice di rotazione sull'asse delle quote + la traslazione.
se poi viene chiesto
(c) Omotetia di centro l'origine e rapporto k(v) = v, v 2 [0, 3π]
devo forse moltiplicare quello che ho ottenuto per un ulteriore matrice? se si quale? ho le idee un po' confuse sull'omotetia
Grazie!
Si consideri la circonferenza centrata nel punto C(0, 3, 0), raggio R = 2 e giacente nel piano yz. Scrivere una
parametrizzazione della curva e una parametrizzazione della superficie che si ottiene applicando alla circonferenza
le seguenti trasformazioni
(a) Rotazione intorno all'asse delle quote di ampiezza a(v) = v, v compreso tra [0, 3π]
(b) Traslazione di vettore b(v) = 2/3vk, v compreso tra [0, 3π]
come soluzione ho pensato:
cioè la parametrizzazione della circonferenza x la matrice di rotazione sull'asse delle quote + la traslazione.
se poi viene chiesto
(c) Omotetia di centro l'origine e rapporto k(v) = v, v 2 [0, 3π]
devo forse moltiplicare quello che ho ottenuto per un ulteriore matrice? se si quale? ho le idee un po' confuse sull'omotetia
Grazie!
Risposte
La tua parametrizzazione è per prima cosa sbagliata. Il [tex]3[/tex] dovrebbe infatti comparire nella seconda coordinata (a meno che tu abbia sbagliato a riportare una delle due formule). Per cui la circonferenza ha equazione [tex](3 + 2 \, \cos t) \, \boldsymbol{j} + 2 \sin t \, \boldsymbol{k}[/tex].
È ora corretto trasformare questa equazione applicando una trasformazione dopo l'altra. I vettori, essendo delle matrici colonna (a meno che la tua notazione sia molto strana e quella scritta indica una matrice riga*) devono stare a destra della matrice di trasformazione. La matrice di trasformazione è poi sbagliata. La matrice dovrebbe infatti essere:
[tex]R_v = \left(\begin{array}{ccc} \cos v & \sin v & 0 \\ - \sin v & \cos v & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)[/tex]
La traslazione è invece corretta. Per cui, applicando la rotazione si ottiene la superficie [tex]\sin v \, (3 + 2 \cos t) \, \boldsymbol{i} + \cos v \, (3 + 2 \cos t) \, \boldsymbol{j} + 2 \sin t \, \boldsymbol{k}[/tex] (cioè un toro) e applicando anche la traslazione si ottiene [tex]\sin v \, (3 + 2 \cos t) \, \boldsymbol{i} + \cos v \, (3 + 2 \cos t) \, \boldsymbol{j} + (2 \sin t + \frac{2v}{3}) \, \boldsymbol{k}[/tex]. L'omotetia di centro l'origine e rapporto [tex]v[/tex] corrisponde praticamente alla moltiplicazione per lo scalare [tex]v[/tex], per cui si ottiene [tex]v \, \sin v \, (3 + 2 \cos t) \, \boldsymbol{i} + v \, \cos v \, (3 + 2 \cos t) \, \boldsymbol{j} + v \, (2 \sin t + \frac{2v}{3}) \, \boldsymbol{k}[/tex].
* Motivo per cui dovresti imparare a scrivere le formule correttamente.
È ora corretto trasformare questa equazione applicando una trasformazione dopo l'altra. I vettori, essendo delle matrici colonna (a meno che la tua notazione sia molto strana e quella scritta indica una matrice riga*) devono stare a destra della matrice di trasformazione. La matrice di trasformazione è poi sbagliata. La matrice dovrebbe infatti essere:
[tex]R_v = \left(\begin{array}{ccc} \cos v & \sin v & 0 \\ - \sin v & \cos v & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)[/tex]
La traslazione è invece corretta. Per cui, applicando la rotazione si ottiene la superficie [tex]\sin v \, (3 + 2 \cos t) \, \boldsymbol{i} + \cos v \, (3 + 2 \cos t) \, \boldsymbol{j} + 2 \sin t \, \boldsymbol{k}[/tex] (cioè un toro) e applicando anche la traslazione si ottiene [tex]\sin v \, (3 + 2 \cos t) \, \boldsymbol{i} + \cos v \, (3 + 2 \cos t) \, \boldsymbol{j} + (2 \sin t + \frac{2v}{3}) \, \boldsymbol{k}[/tex]. L'omotetia di centro l'origine e rapporto [tex]v[/tex] corrisponde praticamente alla moltiplicazione per lo scalare [tex]v[/tex], per cui si ottiene [tex]v \, \sin v \, (3 + 2 \cos t) \, \boldsymbol{i} + v \, \cos v \, (3 + 2 \cos t) \, \boldsymbol{j} + v \, (2 \sin t + \frac{2v}{3}) \, \boldsymbol{k}[/tex].
* Motivo per cui dovresti imparare a scrivere le formule correttamente.
ti ringrazio sei stato molto chiaro. in effetti non riuscivo a scrivere la matrice in colonna... comunque grazie mille dell'ottima spiegazione
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