Conferma esercizio applicazioni lineari

[HeroGian]

Ragazzi sono sempre qui a chiedervi aiuto riguardo algebra lineare. Ho svolto diversi esercizi proposti dal tutor, il problema è che sono privi di soluzione, perciò volevo chiedervi un parere al riguardo.

esercizio

Nello spazio vettoriale $RR^3$ si considerino i vettori $\vec u_1 = ( 1, 1, 1 ) \vec u_2 = ( 0, 1, 1 ) \vec u_3 = ( 0, 0, 1 )$
Si consideri la funzione $f: RR^3 -> RR^3 (x, y, z) ->( 3x + 3y + z, x - y + z, 2x + 2y )$

(1) determinare la matrice associata ad f rispetto alla base $B = {\vec u_1, \vec u_2, \vec u_3}$, stabilire se f è iniettiva.
(2) sia $W = <(1, 2, -1), (1, -1, -2)>$ determinare la dimensione del sottospazio vettoriale $f(W) nn Kerf$ dove $f(W)$ è l'immagine di W mediante f

svolgimento

PUNTO 1

$f(\vec u_1) = (5, 1, 4)$
$f(\vec u_2) = (2, 0, 2)$
$f(\vec u_3) = (1, 1, 0)$

imposto i sistemi:
$\{(x = 5),(x + y = 1),(x + y + z = 4):}$ $\{(x = 5),(y = -4),(z = 3):}$
$\{(x_1 = 2),(x_1 + y_1 = 0),(x_1 + y_1 + z_1 = 2):}$ $\{(x_1 = 2),(y_1 = -2),(z_1 = 2):}$
$\{(x_2 = 1),(x_2 + y_2 = 1),(x_2 + y_2 + z_2 = 0):}$ $\{(x_2 = 1),(y_1 = 0),(z_1 = 1):}$

quindi la matrice risulta:

$Mf = ((5, 2, 1),(-4, -2, 0),(3, 2, -1))$

ponendo le equazioni della funzione = 0 trovo che $Kerf = <(-1/2, 1/2, 1)>$ che ha dimensione 1, la funzione non è iniettiva.

PUNTO 2

determino l'immagine di W tramite f:
$f(1, 2, -1) = (4, -2, 6)$
$f(1, -1, -2) = (0, 0, 0)$ questo vettore ovviamente è $\vec 0$ perchè appartiene al nucleo

quindi trovo che l'immagine di W tramite f ha dimensione 1 e che $f(W) = <(4, -2, 6)$

determino $f(W) nn Kerf$ (il punto su cui ho più dubbi)

$x(4, -2, 6) = y(-1/2, 1/2, 1)$
$(4x, -2x, 6x) = (-1/2y, 1/2y, y)$

$\{(x = -1/6y),(x = -1/4y),(x = 1/6y):}$ assurdo, quindi l'intersezione è l'insieme vuoto

vi sarei molto grato se riusciste a dirmi se va bene o no e nel caso se riusciste a dirmi i punti dove ho sbagliato.. grazie

[ciampax]

Vorrei capire una cosa: la prima componente è questa: $3x+3y+z$ oppure questa $3x+3y-z$?

Perché se è il primo caso, allora hai sbagliato la matrice di rappresentazione e la funzione è iniettiva, mentre se è il secondo caso la matrice giusta ma la funzione non è iniettiva.