Condizioni per somme dirette di sottospazi
Non ho mai studiato matematica, ma, anche grazie al vostro sito, ho incominciato ad appassionarmi e a studiare da autodidatta. Argomenti inclusi nei primi 2 anni di Università. Non trovo - o, magari non me ne accorgo - problemi significativi in Analisi I e II - a parte qualche "trucchetto" nello svolgimento degli esercizi - . Ma il progresso è più lento in Algebra. Faccio un esempio. Mi era parso di possedere bene la nozione di spazio vettoriale, sottospazio e di somma diretta di sottospazi. Anche avvalendomi delle rappresentazioni mentali di vettori nello spazio: rette e/o piani passanti per l'origine, ad es. . Però non riesco a capire perché non sia condizione necessaria e sufficiente affinché la somma di sottospazi sia diretta la nullità dell'intersezione di tutte le coppie di sottospazi con i div da j ( tra loro a 2 a 2, quindi) , ma occorra la nullità dell'intersezione dell'i-esimo sottospazio con la somma di tutti gli altri sottospazi - con indice j, ovviamente, div da i - . Nella mia ingenua mente non riesco a crearmi un'immagine mentale che differenzi le due condizioni esposte. Probabilmente, mi basterebbe anche ricevere un controesempio. E anche l'indicazione di un davvero buon libro da cui iniziare e poter proseguire autonomamente. Mi scuso per non aver usato le formule adeguate in questo mio primo intervento e ringrazio davvero se qualcuno vorrà rispondere. Ho solo bisogno di un minimo d'incoraggiamento - e di acquistare maggiore fiducia in me stesso - per poter continuare . . .
Risposte
Andiamo nel piano e prendiamo tre rette distinte per l'origine $L_1,L_2,L_3$, quindi tre sottospazi di dimensione $1$. Siccome le rette sono distinte, le loro intersezioni a $2$ a $2$ sono nulle. Tuttavia il piano non e' somma diretta di quelle tre rette (la somma diretta avrebbe dimensione $3$, mentre il piano ha dimensione $2$).
Innanzitutto, grazie infinite per la risposta e la disponibilità dimostrata. Il problema, però, è che mi sono bloccato nel ragionamento proprio con due sole rette passanti per l'origine - ognuna delle quali costituisce un sottospazio - . Nel caso di n=2 la condizione necess. e suffic. affinché la somma di sottospazi sia diretta si riduce semplicemente a richiedere che sia nulla l'intersez. dei due sottospazi (rette) - W1 intersez W2 = 0 - . Ma 2 rette qualsiasi nel piano passanti per l'origine - purché non coincidenti - hanno sempre intersezione nulla. Allora, la condizione prevede che ogni coppia di rette non coincidenti passanti per l'origine è nel piano somma diretta di sottospazi? Avevo capito di no e che si avesse somma diretta di sottospazi solo se le due rette sono tra loro ortogonali in modo tale che ogni vettore del piano W = W1 + W2 (intendendo qui + come somma diretta) possa avere componenti - coordinate - unicamente determinate secondo le loro due direzioni. Cioè, ad es., con base = (0,1) e (1,0). Dov'è che mi perdo o che il mio "ragionamento" - o pseudo-tale - non fila? La formula mostra chiaramente che nel caso bidimensionale è richiesta solo la nullità dell'intersezione dei 2 sottospazi e non ci sono altre condizioni. Se potesse essere così gentile da farmelo capire . . .
In generale, in uno spazio vettoriale, non si puo' parlare di ortogonalita'. L'ortogonalita' e' un concetto che viene dopo, quando si introduce un prodotto scalare. In effetti due sottospazi di uno spazio vettoriale $V$ sono in somma diretta se e solo se la loro intersezione e' nulla (si puo' prendere questa come definizione se vogliamo). Qui c'e' qualche informazione in piu'. Data una base qualsiasi di uno spazio vettoriale, allora le rette individuate dai singoli vettori della base sono in somma diretta e lo spazio vettoriale e' isomorfo a quella somma diretta (e l'isomorfismo e' dato semplicemente dal vettore delle coordinate di ogni punto).
Il fatto fondamentale e' che la base standard $(1,0)$ e $(0,1)$ del piano non ha nulla di particolare. Se usi una base diversa, ad esempio $(1,0)$ e $(1,1)$, lo spazio viene comunque espresso come coppie di numeri (le coordinate in quella base appunto).
Per capire bene cos'e' una somma diretta, e' utile capire cos'e' un prodotto diretto di $2$ (o comunque un numero finito, non perdiamoci in prodotti infiniti) di gruppi. Infatti un gruppo e' un concetto piu' astratto di uno spazio vettoriale (gli spazi vettoriali sono gruppi con qualche proprieta' in piu') e, almeno nella mia esperienza personale, con i gruppi non si corre quasi mai il rischio di farsi disegni in testa che potrebbero essere fuorvianti.
Il fatto fondamentale e' che la base standard $(1,0)$ e $(0,1)$ del piano non ha nulla di particolare. Se usi una base diversa, ad esempio $(1,0)$ e $(1,1)$, lo spazio viene comunque espresso come coppie di numeri (le coordinate in quella base appunto).
Per capire bene cos'e' una somma diretta, e' utile capire cos'e' un prodotto diretto di $2$ (o comunque un numero finito, non perdiamoci in prodotti infiniti) di gruppi. Infatti un gruppo e' un concetto piu' astratto di uno spazio vettoriale (gli spazi vettoriali sono gruppi con qualche proprieta' in piu') e, almeno nella mia esperienza personale, con i gruppi non si corre quasi mai il rischio di farsi disegni in testa che potrebbero essere fuorvianti.
"Pappappero":
Il fatto fondamentale e' che la base standard $(1,0)$ e $(0,1)$ del piano non ha nulla di particolare. Se usi una base diversa, ad esempio $(1,0)$ e $(1,1)$, lo spazio viene comunque espresso come coppie di numeri (le coordinate in quella base appunto).
Di nuovo grazie della risposta. Ciò che credo di aver capito e che è conforme all'intuizione è che la condizione di nullità dell'intersezione dei due sottospazi non può essere - presa isolatamente - sufficiente. Nemmeno nel caso di somma di due soli sottospazi. Infatti, i testi premettono - sempre a parole - che è necessaria - quindi, anche - la condizione che un qualsiasi vettore - o elemento - w di W = W1+W2 - i 2 sottospazi, appunto - possa sempre essere espresso - unicamente - come somma di w1+w2 con - ovviamente - w1in W1 e w2 in W2. Anche nell'articolo di Wikipedia citato. E sempre a parole. Non riesco a capire perché questa condizione fondamentale non venga adeguatamente "formalizzata". E' solo un problema di sequenzialità didattica di svolgimento di argomenti o c'è altro? Questa "verbalizzazione" - anziché "formalizzazione" - sembra sottendere implicitamente il concetto di "ortogonalità" o di "proiezione". Se si definisse esplicitamente che i sottospazi debbono essere ortogonali affinché si possa avere somma diretta non si sarebbe già detto tutto? O sbaglio?
Ad es., i sottospazi - rette - che contengono (1,0) e (1,1) non possono dare somma diretta perché le proiezioni reciproche non sono nulle. E - in un piano - solo una coppia di rette ortogonali - o le infinite alla 1 coppie di tali rette - possono dare somma diretta. Indipendentemente dal fatto che tutte le coppie di rette - purché non coincidenti - hanno intersezione nulla, anche se l'angolo formato non è retto. E' giusto questo? Allora, si tornerebbe a bomba, cioè come vera condizione potrebbe bastare l'ortogonalità dei sottospazi. Mentre leggo definizioni "mezze" "formalizzate" - nullità dell'intersezione - e "mezze" "verbalizzate" - unicità della "scomposizione" in somma formata da un w1 di W1 e da un w2 di W2 - che - almeno, a me sembra - potrebbero essere sintetizzate da quella - unica - dell'ortogonalità dei due - o più - sottospazi.
Sbaglio? Chiarendo il concetto di ortogonalità risulterebbe anche più immediata la formalizzazione nel caso di n qualunque.
Non ci sarebbe bisogno di verificare la nullità dell'intersezione dell'i-esimo sottospazio con la somma di tutti gli altri. Se sono tutti ortogonali mi sembra non ci sia bisogno di una tale verifica e anche tutte le somme parziali risulterebbero sempre dirette. Spero possa avere la pazienza di leggere lo sproloquio . . . Comunque, grazie anticipatamente.
Il concetto di ortogonalita' NON c'entra niente con le somme dirette. In uno spazio vettoriale qualsiasi, non e' possibile parlare di ortogonalita'.
Laddove il concetto di ortogonalita' e' definito, il fatto che dei sottospazi siano ortogonali e' condizione sufficiente per essere in somma diretta, ma non necessaria.
La proiezione su un sottospazio non e' in generale una mappa ben definita. Dipende da una base scelta. Una volta che si fissa la base, si hanno le proiezioni.
Le rette $L_1 = \langle (0,1) \rangle$ e $L_2 = \langle (1,1) \rangle$ sono due sottospazi di $\mathbb{R} ^2$. La loro intersezione e' nulla. Ogni vettore di $\mathbb{R} ^2$ si puo' scrivere univocamente come somma di un vettore di $L_1$ e un vettore di $L_2$ (perche' $(0,1)$ e $(1,1)$ sono una base di $\mathbb{R}^2$). In generale queste due condizioni (sostituendo a $\mathbb{R^2}$ lo span dei sottospazi che consideri) sono in realta' equivalenti, e dimostrarlo e' facile.
Si conclude che $\mathbb{R}^2 = L_1 \oplus L_2$.
In particolare, se due sottospazi hanno intersezione nulla, allora questi sono SEMPRE in somma diretta.
Ripeto: una somma diretta e' semplicemente un insieme di coppie. Paradossalmente, per visualizzarla meglio bisogna dimenticarsi delle figure (niente piani, niente rette, solo numeretti) e quindi puo' essere utile capire cosa e' il prodotto cartesiano di due gruppi.
Laddove il concetto di ortogonalita' e' definito, il fatto che dei sottospazi siano ortogonali e' condizione sufficiente per essere in somma diretta, ma non necessaria.
La proiezione su un sottospazio non e' in generale una mappa ben definita. Dipende da una base scelta. Una volta che si fissa la base, si hanno le proiezioni.
Le rette $L_1 = \langle (0,1) \rangle$ e $L_2 = \langle (1,1) \rangle$ sono due sottospazi di $\mathbb{R} ^2$. La loro intersezione e' nulla. Ogni vettore di $\mathbb{R} ^2$ si puo' scrivere univocamente come somma di un vettore di $L_1$ e un vettore di $L_2$ (perche' $(0,1)$ e $(1,1)$ sono una base di $\mathbb{R}^2$). In generale queste due condizioni (sostituendo a $\mathbb{R^2}$ lo span dei sottospazi che consideri) sono in realta' equivalenti, e dimostrarlo e' facile.
Si conclude che $\mathbb{R}^2 = L_1 \oplus L_2$.
In particolare, se due sottospazi hanno intersezione nulla, allora questi sono SEMPRE in somma diretta.
Ripeto: una somma diretta e' semplicemente un insieme di coppie. Paradossalmente, per visualizzarla meglio bisogna dimenticarsi delle figure (niente piani, niente rette, solo numeretti) e quindi puo' essere utile capire cosa e' il prodotto cartesiano di due gruppi.
"Pappappero":
Il concetto di ortogonalita' NON c'entra niente con le somme dirette. In uno spazio vettoriale qualsiasi, non e' possibile parlare di ortogonalita'.
Laddove il concetto di ortogonalita' e' definito, il fatto che dei sottospazi siano ortogonali e' condizione sufficiente per essere in somma diretta, ma non necessaria.
La proiezione su un sottospazio non e' in generale una mappa ben definita. Dipende da una base scelta. Una volta che si fissa la base, si hanno le proiezioni.
Ottimo intervento. E molto chiaro. Devo essere sincero: mi aveva già scritto di non porre il vincolo dell'ortogonalità, ma non avevo capito. Intanto, ho capito che non bisogna mai - assolutamente - introdurre o presupporre concetti/vincoli che non siano già inclusi nella definizione stessa. Ripasserò bene i gruppi e i prodotti cartesiani. Ed eventualmente tornerò a scrivere . . . Grazie davvero!
Si pero' non mi dare del lei eh...
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