Condizioni affinchè una trasformazione sia diagonalizzabile

[Sk_Anonymous]

Ciao, non mi è ben chiaro quali sono le condizioni affinchè una trasformazione lineare sia diagonalizzabile. Innanzitutto, vi faccio alcune domande.
Se una matrice ha $n$ righe, allora il suo polinomio caratteristico avrà necessariamente $n$ radici (reali o complesse che siano), cioè sarà di grado $n$?

Il fatto che la molteplicità geometrica debba essere minore della molteplicità algebrica, è una condizione che deve essere imposta oppure è una cosa "naturale"?
Grazie mille, ciao

[Paolo902]

"lisdap":Se una matrice ha $n$ righe, allora il suo polinomio caratteristico avrà necessariamente $n$ radici (reali o complesse che siano), cioè sarà di grado $n$?

Sì. Ovviamente non deve solo avere $n$ righe, ma anche $n$ colonne (altrimenti il discorso non ha senso).

"lisdap":Il fatto che la molteplicità geometrica debba essere minore della molteplicità algebrica, è una condizione che deve essere imposta oppure è una cosa "naturale"?

E' una proprietà, un teorema. La molteplicità geometrica è sempre minore di quella algebrica; vedi qui, ad esempio, per ulteriori dettagli.

[Sk_Anonymous]

"Paolo90":[quote="lisdap"]Se una matrice ha $n$ righe, allora il suo polinomio caratteristico avrà necessariamente $n$ radici (reali o complesse che siano), cioè sarà di grado $n$?

Sì. Ovviamente non deve solo avere $n$ righe, ma anche $n$ colonne (altrimenti il discorso non ha senso).

"lisdap":Il fatto che la molteplicità geometrica debba essere minore della molteplicità algebrica, è una condizione che deve essere imposta oppure è una cosa "naturale"?

E' una proprietà, un teorema. La molteplicità geometrica è sempre minore di quella algebrica; vedi qui, ad esempio, per ulteriori dettagli.[/quote]
Certo, va bene.
Ora, da wikipedia apprendo quanto segue:
"Una matrice quadrata A con n righe è diagonalizzabile se e solo se valgono entrambi i fatti seguenti:

1) la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è n;
2) le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti."
Per quanto riguarda il primo punto, la molteplicità algebrica è il numero di volte che un certo numero è soluzione del polinomio caratteristico. Quindi, dire che in una matrice con $n$ righe la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori deve essere $n$, significa che, se gli autovalori sono tutti distinti, allora gli autovalori devono essere $n$, mentre, se gli autovalori risolvono più volte il polinomio caratteristico, gli autovalori sono meno di $n$. Un controesempio che mi fa capire quando ciò non avviene? Cioè, non ho capito quando viene meno il primo punto.

[Sk_Anonymous]

Ciao, qualcuno può dirmi perchè una condizione affinchè una matrice quadrata sia diagonalizzabile è che la molteplicità algebrica dell'autovalore deve essere uguale ala molteplicità geometrica?

[maurer]

E' praticamente ovvio. La molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio relativo ad un autovalore.
La somma delle molteplicità algebriche degli autovalori è la dimensione [tex]n[/tex] dello spazio.
Se le molteplicità algebriche sono uguali a quelle geometriche, segue che la somma delle dimensioni degli autospazi è [tex]n[/tex].

Adesso, la somma di due autospazi distinti (riferiti a diversi autovalori) è sempre diretta (perché???). Quindi abbiamo ottenuto che [tex]\mathbb R^n[/tex] è somma diretta degli autospazi, ossia esiste una base formata da autovettori. Ma avere una base di autovettori è equivalente alla diagonalizzabilità!

[maurer]

Ah, per la tua domanda precedente. Dipende un sacco dove ti metti a lavorare. Se il campo di base [tex]k[/tex] è algebricamente chiuso (ad esempio [tex]\mathbb C[/tex]), allora la condizione 1) è sempre automaticamente soddisfatta, per definizione di algebricamente chiuso.

Se ti metti in un campo a caso, ad esempio [tex]\mathbb R[/tex], naturalmente il polinomio non deve avere per forza n soluzioni. Ad esempio
[tex]\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
ha polinomio caratteristico [tex]X^2 + 1[/tex], che non ha radici reali. Pertanto la somma delle molteplicità algebriche è 0 e non n.

[Sk_Anonymous]

"maurer":E' praticamente ovvio. La molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio relativo ad un autovalore.
La somma delle molteplicità algebriche degli autovalori è la dimensione [tex]n[/tex] dello spazio.
Se le molteplicità algebriche sono uguali a quelle geometriche, segue che la somma delle dimensioni degli autospazi è [tex]n[/tex].

Perfetto, quindi in parole povere, se si verificasse che la molteplicità geometrica di un autovalore fosse minore di quella algebrica relativa allo stesso autovalore, si avrebbe che, anche se la somma delle molteplicità algebriche fosse $n$, la dimensione totale degli autospazi sarebbe minore della dimensione dello spazio vettoriale e quindi ovviamente ci sarebbero dei vettori sui quali l'applicazione va ad intervenire modificandone anche la direzione, e dunque non si avrebbe una base completa di autovettori, condizione necessaria per la diagonalizzazione di una matrice, giusto?

[maurer]

"lisdap":quindi ovviamente ci sarebbero dei vettori sui quali l'applicazione va ad intervenire modificandone anche la direzione

Questo, mi duole dirti, è sempre vero a meno che la matrice non sia scalare. Supponiamo infatti che per ogni [tex]\bold x \in \mathbb R^n[/tex] si abbia [tex]A \bold x = \lambda_{\bold x} \bold x[/tex] (qui potenzialmente [tex]\lambda_{\bold x}[/tex] cambia da vettore a vettore). Allora fissiamo un vettore non nullo [tex]\bold x[/tex]. Per ogni altro [tex]\bold y[/tex] indipendente da [tex]\bold x[/tex] si ha [tex]A(\bold x + \bold y) = \lambda_{\bold x + \bold y} (\bold x + \bold y)[/tex] e [tex]A(\bold x + \bold y) = A \bold x + A \bold y = \lambda_{\bold x} \bold x + \lambda_{\bold y} \bold y[/tex], sicché [tex]\lambda_{\bold x + \bold y} = \lambda_{\bold x} = \lambda_{\bold y}[/tex]. Pertanto [tex]A = \lambda_{\bold x} I[/tex].