Condizione necessaria per nascere autoaggiunto
Salve ragazzi,stavo studiando la dimostrazione affinchè un operatore possa essere definito autoaggiunto.
Senza postarla tutto,volevo solo chiedere una cosa.
Intanto definiamo $aij$ la matrice associata all'applicazione lineare rispetto ad una base ortonormale $x1..xn$, allora
$a(j,i)=xj(Ax i)$ ma questo non è uguale a: $(Ax i)xj $ se operiamo in uno spazio complesso euclideo?
Senza postarla tutto,volevo solo chiedere una cosa.
Intanto definiamo $aij$ la matrice associata all'applicazione lineare rispetto ad una base ortonormale $x1..xn$, allora
$a(j,i)=xj(Ax i)$ ma questo non è uguale a: $(Ax i)xj $ se operiamo in uno spazio complesso euclideo?
Risposte
Innanzitutto una questione stilistica:
se vuoi scrivere i pedici, ti conviene usare il comando adatto.
Per esempio se vuoi scrivere $a_{ij}$ (che è molto più elegante di $aij$) basta digitare \$a_{ij}\$
In merito al tuo dubbio, devi scrivere meglio cosa intendi per i simboli che usi.
Per esempio cosa intendi per $a(i,j)=x_j(Ax_i)$?
Qual è l'operazione fra $x_j$ e $Ax_i$?
Forse è il prodotto hermitiano nello spazio complesso?
Se è così, quando scambi l'ordine, devi passare al coniugato, no?
se vuoi scrivere i pedici, ti conviene usare il comando adatto.
Per esempio se vuoi scrivere $a_{ij}$ (che è molto più elegante di $aij$) basta digitare \$a_{ij}\$
In merito al tuo dubbio, devi scrivere meglio cosa intendi per i simboli che usi.
Per esempio cosa intendi per $a(i,j)=x_j(Ax_i)$?
Qual è l'operazione fra $x_j$ e $Ax_i$?
Forse è il prodotto hermitiano nello spazio complesso?
Se è così, quando scambi l'ordine, devi passare al coniugato, no?
Allora ora spiego meglio, l'arrivo è dimostrare che $A:X->X$ è un operatore autoaggiunto se e solo se la sua matrice di rappresentazione rispetto ad una qualunque base ortonormale rispetta: $a_{ij}=a_{ji}$ però coniugato.
,con $X$ spazio vettoriale complesso.
Appena comincia a dimostrare scrive: $a_{ji}=(Ax i)xj$, già qui mi blocco,perchè io ho sempre letto che :
$a_{i,j}=x i*A(xj)$ quindi $a_{ji}=xj(Ax i)$ perciò non mi torna molto $a_{ji}=(Ax i)xj$ ..
,con $X$ spazio vettoriale complesso.
Appena comincia a dimostrare scrive: $a_{ji}=(Ax i)xj$, già qui mi blocco,perchè io ho sempre letto che :
$a_{i,j}=x i*A(xj)$ quindi $a_{ji}=xj(Ax i)$ perciò non mi torna molto $a_{ji}=(Ax i)xj$ ..
Vediamo un po'.
Dipende dalle notazioni. Per te cosa si intende per spazio euclideo complesso?
...che è dato un prodotto scalare $cdot$ tale che
(1) [tex]$(\lambda v)\cdot w=\overline{\lambda}\,v\cdot w[/tex] e [tex]$ v\cdot (\lambda w)=\lambda\,v\cdot w[/tex]
No, perchè qualcuno usa un prodotto scalare (complesso) tale che
(2) [tex]$(\lambda v)\cdot w=\lambda\,v\cdot w[/tex] e [tex]$ v\cdot (\lambda w)=\overline{\lambda}\,v\cdot w[/tex]
Allora, basta accordarsi per quale notazione usare.
Se usi la (1), hai ragione tu, perchè se $(a_{ij})$ è la matrice associata ad $A$ rispetto alla base ortonormale $(x_1,...,x_n)$ si ha che
[tex]Ax_i=a_{ki}x_k[/tex] (ho sottointeso la somma su $k$ con la convenzione di Einstein).
Quindi, calcolando
[tex]$ (Ax_i)\cdot x_j=(a_{ki}x_k)\cdot x_j=\overline{a_{ki}}\,x_k\cdot x_j=\overline{a_{ki}}\delta_{kj}=\overline{a_{ji}}[/tex].
e con conti analoghi
[tex]$ x_j\cdot (Ax_i)=a_{ji}[/tex].
Dipende dalle notazioni. Per te cosa si intende per spazio euclideo complesso?
...che è dato un prodotto scalare $cdot$ tale che
(1) [tex]$(\lambda v)\cdot w=\overline{\lambda}\,v\cdot w[/tex] e [tex]$ v\cdot (\lambda w)=\lambda\,v\cdot w[/tex]
No, perchè qualcuno usa un prodotto scalare (complesso) tale che
(2) [tex]$(\lambda v)\cdot w=\lambda\,v\cdot w[/tex] e [tex]$ v\cdot (\lambda w)=\overline{\lambda}\,v\cdot w[/tex]
Allora, basta accordarsi per quale notazione usare.
Se usi la (1), hai ragione tu, perchè se $(a_{ij})$ è la matrice associata ad $A$ rispetto alla base ortonormale $(x_1,...,x_n)$ si ha che
[tex]Ax_i=a_{ki}x_k[/tex] (ho sottointeso la somma su $k$ con la convenzione di Einstein).
Quindi, calcolando
[tex]$ (Ax_i)\cdot x_j=(a_{ki}x_k)\cdot x_j=\overline{a_{ki}}\,x_k\cdot x_j=\overline{a_{ki}}\delta_{kj}=\overline{a_{ji}}[/tex].
e con conti analoghi
[tex]$ x_j\cdot (Ax_i)=a_{ji}[/tex].
Ti ringrazio molto..
Prego 
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