Condizione necessaria per endomorfismo nilpotente in $CC$
Sia $f :CC_n->CC_n$ un endomorfismo lineare. Se $ImfsubeIm(f- λI)$ $AAλinCC$ allora $f$ è nilpotente.
Ho provato in questa direzione:
Intanto siccome il campo è $CC$ se $λ_1$ è un autovalore di $f$ allora anche $\bar λ_1$ è un autovalore di $f$.
Supponiamo per assurdo che esiste un autovalore $λ_1!=0$ di $f$, si allora che $f(v/λ_1)=v$ da cui $vinImf$ e quindi per ipotesi $vinIm(f- λI)$ $AAλinCC$, inoltre $vinKer(f-λ_1I)$.Non so se scegliere $λ=λ_1$ o $λ=\bar λ_1$ sia utile ma a prima vista non mi sembra portare da nessuna parte e quindi non so come procedere, qualche idea?
Ho provato in questa direzione:
Intanto siccome il campo è $CC$ se $λ_1$ è un autovalore di $f$ allora anche $\bar λ_1$ è un autovalore di $f$.
Supponiamo per assurdo che esiste un autovalore $λ_1!=0$ di $f$, si allora che $f(v/λ_1)=v$ da cui $vinImf$ e quindi per ipotesi $vinIm(f- λI)$ $AAλinCC$, inoltre $vinKer(f-λ_1I)$.Non so se scegliere $λ=λ_1$ o $λ=\bar λ_1$ sia utile ma a prima vista non mi sembra portare da nessuna parte e quindi non so come procedere, qualche idea?
Risposte
Ok, niente trovata la soluzione non l'avevo vista, ve la lascio per chi fosse comunque interessato:
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