Condizione di diagonalizzabilità (domanda semplice)

[dagg3r]

Domandina semplice semplice e veloce (penso).

Trovando gli zeri di un polinomio caratteristico, ipotizziamo di trovare 3 autovalori (ad esempio).
Perché una matrice sia diagonalizzabile, è necessario che TUTTI i "lambda" trovati abbiano moltep.Algebrica = moltep.Geometrica?

[GSnake]

La somma delle molteplicità algebriche deve essere uguale alla dimensione della tua matrice.

[*]La somma delle molteplicità geometriche deve essere uguale alla somma delle molteplicità algebriche.

[dagg3r]

Grazie mille per la risposta.

[morgan82]

GSnake, quindi, se ho una matrice nxn e dimostro con una riduzione di gauss, ad esempio, che ha rango n, vuol dire che ho capito che è diagonale senza dover calcolare necessariamente gli autovalori?
e viceversa se mi accorgo, ad esempio, che una matrice nxn ha due righe o colonne linearmente dipendenti posso affermare che non è diagonalizzabile, senza bisogno di calcolarne gli autovalori?
Scusa l'intromissione, ma sto cercando un modo per capire se una matrice è diagonalizzabile senza ricorrere al calcolo degli autovalori...mi aiuteresti?

[Sk_Anonymous]

@morgan82: quello che dici è palesemente falso. La matrice \[\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] ha rango massimo, eppure non è diagonalizzabile.

[morgan82]

@delirium: quello che ho chiesto, non detto ma chiesto, è palesemente falso, ma , e ora lo dico, o meglio lo scrivo, è palesemente vero con l'aggiunta della condizione che la matrice data ha autovalori tutti distinti nel campo a cui si riferisce.
Ho conferma da una fonte universitaria che recita:
"Se una matrice quadrata A di ordine n con entrate in K ha n autovalori distinti in K, A e diagonalizzabile."
Dunque, tocca nuovamente passare per il calcolo degli autovalori...
Ad ogni modo, grazie delirium

[Sk_Anonymous]

"morgan82":@delirium: quello che ho chiesto, non detto ma chiesto, è palesemente falso, ma , e ora lo dico, o meglio lo scrivo, è palesemente vero con l'aggiunta della condizione che la matrice data ha autovalori tutti distinti nel campo a cui si riferisce. [...]

Non hai fatto altro che citare uno dei criteri di diagonalizzazione, che vale per tutte le matrici, e non solo per quelle di rango massimo. Quest'ultima ipotesi (rango massimo) è quindi superflua.

E comunque sì, ti tocca passare per il calcolo degli autovalori, oppure ti puoi fermare al polinomio caratteristico e concludere se (e solo se) esso è prodotto di fattori lineari distinti.