Concetti introduttivi geometria proiettiva e coniche
Meravigliose le coniche: le sto "adorando" ma nello stesso tempo mi fanno venire mal di testa, insonnia, nevralgie... 
Comincio col chiarirmi una prima cosa. Ho capito che:
Il piano affine ampliato differisce dal piano proiettivo perché nel primo considero punti dello spazio affine (propri e improprio) espressi in coordinate omogenee $(x_0, x_1, x_2)$, mentre nel secondo i punti sono le classi di equivalenza $k(x_0, x_1, x_2)$, o in altre parole sono sottospazi di dimensione 1.
E' corretto?
Ora scrivo l'equazione di una conica in coordinate omogenee:
$ a_00 x_0^2 + a_01 x_1x_0 + a_02 x_2x_0 + ... + a_22 x_2^2 = 0 $
Siccome questo polinomio è omogeneo, se $(x_0, x_1, x_2)$ appartiene alla conica, questo vale anche per ogni $k(x_0, x_1, x_2)$, perché $k$ si "elimina/semplifica".
E' per questo che si parla di classificazione proiettiva delle coniche?
Inizio da qui.
grazie!
Comincio col chiarirmi una prima cosa. Ho capito che:
Il piano affine ampliato differisce dal piano proiettivo perché nel primo considero punti dello spazio affine (propri e improprio) espressi in coordinate omogenee $(x_0, x_1, x_2)$, mentre nel secondo i punti sono le classi di equivalenza $k(x_0, x_1, x_2)$, o in altre parole sono sottospazi di dimensione 1.
E' corretto?
Ora scrivo l'equazione di una conica in coordinate omogenee:
$ a_00 x_0^2 + a_01 x_1x_0 + a_02 x_2x_0 + ... + a_22 x_2^2 = 0 $
Siccome questo polinomio è omogeneo, se $(x_0, x_1, x_2)$ appartiene alla conica, questo vale anche per ogni $k(x_0, x_1, x_2)$, perché $k$ si "elimina/semplifica".
E' per questo che si parla di classificazione proiettiva delle coniche?
Inizio da qui.
grazie!
Risposte
p.s. Aggiungo un'altra cosa che non ho capito: che significato geometrico ha intersecare una conica con la retta impropria?
(la parte "algebrica" l'ho capita).
p.s. Già che ci sono (l'ultimissima ):
Ho una conica degenere, quindi con determinante della matrice associata A nullo.
Se considero l'equazione matriciale Ax = 0, le soluzioni (non banali) hanno un significato geometrico? Non riesco a coglierlo.
grazie
(la parte "algebrica" l'ho capita).
p.s. Già che ci sono (l'ultimissima
):Ho una conica degenere, quindi con determinante della matrice associata A nullo.
Se considero l'equazione matriciale Ax = 0, le soluzioni (non banali) hanno un significato geometrico? Non riesco a coglierlo.
grazie
"jitter":
che significato geometrico ha intersecare una conica con la retta impropria?
Abbozzo un ragionamento. Prendo la più semplice parabola (affine) in $A_2$: la $y = x^2$, che in coordinate omogenee è $x_1^2-x_0x_2 = 0$.
Se ha qualche senso associare queste coordinate omogenee a delle coordinate affini in $A_3$ ($x_0$ a x, $x_1$ a y ecc.) potrei scrivere:
$x^2 - yz$, che è un cono inclinato. Siccome un cono intersecato con un piano dà una conica, si accendono le speranze che il ragionamento non sia del tutto errato. Ma... se interseco il cono $z = 0$ ottengo un punto e non la mia parabola.
Ho cercato tanto fra le varie dispense il significato geometrico dell'intersezione con la retta impropria, ma non lo trovo. Sto cercando nel posto sbagliato?
Quante domande
Con ordine:
1)Esatto, perchè gli spazi proiettivi $P^n$ sono i sotto-spazi vettoriali 1-dimensionali di $V$ t.c. $dim(V)=n+1$.
Ovvero sono l'insieme di rette passanti per l'origine, per esempio $P^1 =$rette di $A^2 $per $0 $
2) Non ho capito cosa tu intenda in "E' per questo che si parla di...?"
Nel proiettivo $ (x0,x1,x2)$ e $k(x0,x1,x2)$ sono la stessa cosa quindi non ha senso dire ciò.
Ha più senso definire una classificazione di coniche "standard" in base a caratteristiche indipendenti da omografie quali la segnatura(Sylvester), in modo tale da definire a quale tipologia di conica standard ci si possa ricollegare tramite eventuali omografie.
3) Se stiamo parlando di $A^2$(in generale il discorso è lo stesso, ma si tratterà di iperpiano improprio), quando intersechi una conica con la retta impropria(trovandosi nell'affine) vai a vedere la tua conica all'infinito, quindi vai a vedere la natura della tua conica nel sottospazio delle "direzioni".
In quanto nell'affine due forme si dicono affinemente equivalenti se , definite per entrambe la matrice $A$ e la matrice all'infinito $A_(oo)$ [A intersecata con la retta impropria, quindi con l'ultima riga e colonna eliminata],esiste un'affinità tra di loro.
L'affinità (per inclusione) è anche un'omografia , quindi vale il criterio della segnatura definito prima. Inoltre definita un'omografia $omega$ è un'affinità $harr $ $omega(Pi_(oo))=Pi_(oo)$ ovvero $harr $ l'iperpiano improprio è unito quindi riassumento:
-esiste un'omografia tra le due coniche
-esiste un'omografia tra le due coniche all'infinito
ovvero date $Q, Q'$ ... $Q~ Q'$
$sgn(Q)=sgn(Q') ^^ sgn(Q_(oo) )=sgnQ'_(oo)$
4)La definizione di $X$ punto singolare(una conica è degenere se ha punti singolari) è per l'appunto anche che $A*x=0$ [per la dimostrazione devi utilizzare una generica retta tangente e verificare abbia doppia intersezione ]
5) Il passaggio che fai: $A^2 : (x,y)->P^1: (x_0,x_1,x_2)->A^3:(x,y,z)$ non puoi farlo in quanto la prima è una relazione di equivalenza , in particolare una proiezione al quoziente, la seconda invece sarebbe una sorta di immersione nello spazio $A^3$ definita sull'insieme delle classi di equivalenza in $P^1$ sottospazio di $A^2$
Più che altro, lo puoi fare , ma cambi completamente la tua conica ed in particolare la classe di equivalenza delle tue quadriche(ora sei in $A^3$)
Con ordine:
1)Esatto, perchè gli spazi proiettivi $P^n$ sono i sotto-spazi vettoriali 1-dimensionali di $V$ t.c. $dim(V)=n+1$.
Ovvero sono l'insieme di rette passanti per l'origine, per esempio $P^1 =$rette di $A^2 $per $0 $
2) Non ho capito cosa tu intenda in "E' per questo che si parla di...?"
Nel proiettivo $ (x0,x1,x2)$ e $k(x0,x1,x2)$ sono la stessa cosa quindi non ha senso dire ciò.
Ha più senso definire una classificazione di coniche "standard" in base a caratteristiche indipendenti da omografie quali la segnatura(Sylvester), in modo tale da definire a quale tipologia di conica standard ci si possa ricollegare tramite eventuali omografie.
3) Se stiamo parlando di $A^2$(in generale il discorso è lo stesso, ma si tratterà di iperpiano improprio), quando intersechi una conica con la retta impropria(trovandosi nell'affine) vai a vedere la tua conica all'infinito, quindi vai a vedere la natura della tua conica nel sottospazio delle "direzioni".
In quanto nell'affine due forme si dicono affinemente equivalenti se , definite per entrambe la matrice $A$ e la matrice all'infinito $A_(oo)$ [A intersecata con la retta impropria, quindi con l'ultima riga e colonna eliminata],esiste un'affinità tra di loro.
L'affinità (per inclusione) è anche un'omografia , quindi vale il criterio della segnatura definito prima. Inoltre definita un'omografia $omega$ è un'affinità $harr $ $omega(Pi_(oo))=Pi_(oo)$ ovvero $harr $ l'iperpiano improprio è unito quindi riassumento:
-esiste un'omografia tra le due coniche
-esiste un'omografia tra le due coniche all'infinito
ovvero date $Q, Q'$ ... $Q~ Q'$
$sgn(Q)=sgn(Q') ^^ sgn(Q_(oo) )=sgnQ'_(oo)$
4)La definizione di $X$ punto singolare(una conica è degenere se ha punti singolari) è per l'appunto anche che $A*x=0$ [per la dimostrazione devi utilizzare una generica retta tangente e verificare abbia doppia intersezione ]
5) Il passaggio che fai: $A^2 : (x,y)->P^1: (x_0,x_1,x_2)->A^3:(x,y,z)$ non puoi farlo in quanto la prima è una relazione di equivalenza , in particolare una proiezione al quoziente, la seconda invece sarebbe una sorta di immersione nello spazio $A^3$ definita sull'insieme delle classi di equivalenza in $P^1$ sottospazio di $A^2$
Più che altro, lo puoi fare , ma cambi completamente la tua conica ed in particolare la classe di equivalenza delle tue quadriche(ora sei in $A^3$)
Che megaspiegazione Stenford, grazie!!!
Riprendo alcuni punti su cui non sono certa di aver compreso, essendo niubba
in materia di coniche.
1) ok
2) Il dubbio nasceva dal fatto che quando mi trovavo davanti a coordinate omogenee, confondendomi, mi sembrava di essere in uno spazio proiettivo, mentre ero in uno spazio affine ampliato.
Quindi, a quanto ho capito, potrei dire - invece - che se un punto affine $(x_0, x_1, x_2)$ appartiene a una conica affine, allora il punto proiettivo $[(x_0, x_1, x_2)]$ appartiene alla conica proiettiva, sebbene $(x_0, x_1, x_2)$ e $[x_0, x_1, x_2]$ non siano la stessa cosa. Giusto?
Su questo mi avevi dato una spiegazione l'altro giorno. Ho intuito il senso del ragionamento, ma devo ancora rivederlo perché c'è ancora una premessa che non mi è chiara.
Qui http://www.di.univr.it/documenti/Occorr ... 591916.pdf (a pagina 3) il prof porta tutti i coefficienti a $1$: questo non l'ho capito e mi ha bloccata. Se avessi $ xi_0 ^2 + 4 ^2 + xi_3 ^2=0 $, dovrei avere una trasformazione che mi porta a una conica proiettivamente equivalente con coefficienti tutti pari a 1?
3)
Forse ci mi sto avvicinando: nel senso che, poiché l'intersezione con la retta impropria corrisponde a questa operazione matriciale, significa che ho trovato 2 coniche con le stesse proprietà affini, e questo mi permette di ricondurmi a quella più semplice, di cui "già" conosco le proprietà?
questo purtroppo non riesco a capirlo, credo di non averne i prerequisiti, scusami.
Questo invece forse lo posso fare...
Ok. Cercavo di ricondurmi in qualche modo alla definizione che conoscevo di conica come intersezione tra un cono e un piano.
Riprendo alcuni punti su cui non sono certa di aver compreso, essendo niubba
in materia di coniche."stenford":
Non ho capito cosa tu intenda in "E' per questo che si parla di...?"
1) ok
2) Il dubbio nasceva dal fatto che quando mi trovavo davanti a coordinate omogenee, confondendomi, mi sembrava di essere in uno spazio proiettivo, mentre ero in uno spazio affine ampliato.
Quindi, a quanto ho capito, potrei dire - invece - che se un punto affine $(x_0, x_1, x_2)$ appartiene a una conica affine, allora il punto proiettivo $[(x_0, x_1, x_2)]$ appartiene alla conica proiettiva, sebbene $(x_0, x_1, x_2)$ e $[x_0, x_1, x_2]$ non siano la stessa cosa. Giusto?
"stenford":
quali la segnatura(Sylvester)
Su questo mi avevi dato una spiegazione l'altro giorno. Ho intuito il senso del ragionamento, ma devo ancora rivederlo perché c'è ancora una premessa che non mi è chiara.
Qui http://www.di.univr.it/documenti/Occorr ... 591916.pdf (a pagina 3) il prof porta tutti i coefficienti a $1$: questo non l'ho capito e mi ha bloccata. Se avessi $ xi_0 ^2 + 4 ^2 + xi_3 ^2=0 $, dovrei avere una trasformazione che mi porta a una conica proiettivamente equivalente con coefficienti tutti pari a 1?
3)
"stenford":
In quanto nell'affine due forme si dicono affinemente equivalenti se , definita A e A∞ [A intersecata con la retta impropria, quindi con l'ultima riga e colonna eliminata], esiste un'affinità tra di loro.
Forse ci mi sto avvicinando: nel senso che, poiché l'intersezione con la retta impropria corrisponde a questa operazione matriciale, significa che ho trovato 2 coniche con le stesse proprietà affini, e questo mi permette di ricondurmi a quella più semplice, di cui "già" conosco le proprietà?
"stenford":
L'affinità (per inclusione) è anche un'omografia , quindi vale il criterio della segnatura definito prima. Inoltre definita un'omografia ω è un'affinità ↔ ω(Π∞)=Π∞ ovvero ↔ l'iperpiano improprio è unito
questo purtroppo non riesco a capirlo, credo di non averne i prerequisiti, scusami.
"stenford":
La definizione di X punto singolare(una conica è degenere se ha punti singolari) è per l'appunto anche che A⋅x=0 [per la dimostrazione devi utilizzare una generica retta tangente e verificare abbia doppia intersezione ]
Questo invece forse lo posso fare...
"stenford":
lo puoi fare , ma cambi completamente la tua conica ed in particolare la classe di equivalenza delle tue quadriche(ora sei in A3)
Ok. Cercavo di ricondurmi in qualche modo alla definizione che conoscevo di conica come intersezione tra un cono e un piano.
"jitter":
Che megaspiegazione Stenford, grazie!!!
Riprendo alcuni punti su cui non sono certa di aver compreso, essendo niubba
[quote="stenford"]Non ho capito cosa tu intenda in "E' per questo che si parla di...?"
1) ok
2) Il dubbio nasceva dal fatto che quando mi trovavo davanti a coordinate omogenee, confondendomi, mi sembrava di essere in uno spazio proiettivo, mentre ero in uno spazio affine ampliato.
Quindi, a quanto ho capito, potrei dire - invece - che se un punto affine $(x_0, x_1, x_2)$ appartiene a una conica affine, allora il punto proiettivo $[(x_0, x_1, x_2)]$ appartiene alla conica proiettiva, sebbene $(x_0, x_1, x_2)$ e $[x_0, x_1, x_2]$ non siano la stessa cosa. Giusto?
"stenford":
quali la segnatura(Sylvester)
Su questo mi avevi dato una spiegazione l'altro giorno. Ho intuito il senso del ragionamento, ma devo ancora rivederlo perché c'è ancora una premessa che non mi è chiara.
Qui http://www.di.univr.it/documenti/Occorr ... 591916.pdf (a pagina 3) il prof porta tutti i coefficienti a $1$: questo non l'ho capito e mi ha bloccata. Se avessi $ xi_0 ^2 + 4 ^2 + xi_3 ^2=0 $, dovrei avere una trasformazione che mi porta a una conica proiettivamente equivalente con coefficienti tutti pari a 1?
3)
"stenford":
In quanto nell'affine due forme si dicono affinemente equivalenti se , definita A e A∞ [A intersecata con la retta impropria, quindi con l'ultima riga e colonna eliminata], esiste un'affinità tra di loro.
Forse ci mi sto avvicinando: nel senso che, poiché l'intersezione con la retta impropria corrisponde a questa operazione matriciale, significa che ho trovato 2 coniche con le stesse proprietà affini, e questo mi permette di ricondurmi a quella più semplice, di cui "già" conosco le proprietà?
"stenford":
L'affinità (per inclusione) è anche un'omografia , quindi vale il criterio della segnatura definito prima. Inoltre definita un'omografia ω è un'affinità ↔ ω(Π∞)=Π∞ ovvero ↔ l'iperpiano improprio è unito
questo purtroppo non riesco a capirlo, credo di non averne i prerequisiti, scusami.
"stenford":
La definizione di X punto singolare(una conica è degenere se ha punti singolari) è per l'appunto anche che A⋅x=0 [per la dimostrazione devi utilizzare una generica retta tangente e verificare abbia doppia intersezione ]
Questo invece forse lo posso fare...
"stenford":
lo puoi fare , ma cambi completamente la tua conica ed in particolare la classe di equivalenza delle tue quadriche(ora sei in A3)
Ok. Cercavo di ricondurmi in qualche modo alla definizione che conoscevo di conica come intersezione tra un cono e un piano.[/quote]
Riprendo sempre i tuoi punti sennò ci si perde
2)Perchè $[x0,x1,x2]!=(x0,x1,x2)]$? Sinceramente non ho capito molto quello che dici lì, sarà che è tardi
Per le dispense, presumo ti riferisca al paragrafo 3.2
il 4 è il coefficiente di qualche coordinata vero?
Comunque sì porti tutti i coefficienti a 1 perchè:
Per sylvester sai che esiste un'unica forma canonica dipendente dalla segnatura.
Per il teorema di Lagrange puoi trovare una base coniugata(rispetto alla matrice) in modo tale che incolonnandola in una matrice $C$ ottieni : $A=C^T DeltaC$ poi basta normalizzare ed ottieni la forma canonica. Inoltre sai che $C$ è invertibile quindi è per definizione un'omografia.
Sostanzialmente:
Sylvester ti dice con la segnatura che esiste un'unica forma canonica
Lagrange(base coniugata) ti costruisce una cambio base in modo tale da ottenere tale forma diagonale.
Quindi riscali i coefficienti a 1 normalizzando la tua base ed ottieni la forma canonica .
3)Esattamente la prima parte. Per la parte che non capisci provo a rispiegarla in maniera più semplice:
Tu sai che un'affinità è anche un'omografia. Inoltre sai che se tu hai una conica e ed esegui un'affinità su di essa non andrai a modificare lo "spazio delle direzioni", sostanzialmente resta uguale. Lo "spazio delle direzioni" è il tuo iper-piano improprio(è la retta impropria se siamo in $A^2$), quindi affinchè la tua omografia sia un'affinità deve lasciare invariato tale iperpiano, ovvero $omega(Pi_(oo))=Pi_(oo)$. Facendo il confronto tramite le segnature , controlli che due coniche abbiano la stessa conica "all'infinito".
p.s. quando intersechi il cono inclinato con quel piano ottieni un retta contata due volte $x=0$
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