Comune perpendicolare

[liam-lover]

"Date le due rette $ r:{ ( 2x=-s-5 ),( y=2 ),( z=s ):} $ e $ s:{ ( x=2+t ),( y=-2t ),( z=1-t ):} $, se non complanari, trovare la comune perpendicolare."

Trasformo in forma cartesiana entrambe le rette:

$ r:{ ( y-2=0 ),( 2x+3y+z-1=0 ):} $

$ s:{ ( x+z-3=0 ),( y-2z+2=0 ):} $

La matrice incompleta è $ ( ( 0 , 1 , 0 ),( 2 , 3 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),(0,1,-2) ) $ e ha rango 3.

La matrice completa è $ ( ( 0 , 1 , 0 , 2),( 2 , 3 , 1 , 1),( 1 , 0 , 1 , 3),(0,1,-2, -2) ) $ e ha rango 4.

Le rette sono sghembe, quindi non complanari.

Prendo il punto $ P ((-s-5)/2,2, s) $ per r e il punto $ Q (2+t,-2t,1-t) $ per s.

u è il vettore differenza tra i punti P e Q:
$ u = ((-s-5)/2-2-t,2+2t,s-1+t) $
$ u = (-s-2t-9,4+4t,2s-2+t) $

Prendo il vettore direzionale v = (-1, 0, 2) per r e il vettore w = (1, -2, -1) per s e impongo che siano ortogonali ad u:

$ { ( -s-2t-9-2(4+4t)-2s+2-t=0 ),( s+2t+9+4s-4+2t=0 ):} $

$ { ( -3s-15-11t=0 ),( 5s+4t+5=0 ):} $

$ { ( s=5/43),( t=-60/43 ):} $

Penso di aver sbagliato qualcosa perché quando vado a sostituire s e t in u ottengo numeri assurdi.

[Euclidino]

"maxira":u è il vettore differenza tra i punti P e Q:
$ u = ((-s-5)/2-2-t,2+2t,s-1+t) $
$ u = (-s-2t-9,4+4t,2s-2+t) $

$u = (-s-2t-9,4+4t,2s-2+2t) $

[liam-lover]

"Euclidino":

$ u = (-s-2t-9,4+4t,2s-2+2t) $

Grazie!

Adesso ottengo:

$ { ( -s+2t+9+4s+4t-4=0 ),( s-2t-9-8-8t-2s-2t+2=0 ):} $

$ { ( 3s+6t+5=0 ),( -3s-12t-15=0 ):} $

$ { ( t=-5/3 ),( s=-4t-5 ):} $

$ { ( t=-5/3 ),( s=5/3 ):} $

Sostituisco ad u:

$ u = (-4, -8/3, -2) = (-2, -4/3, -1)$