Composizione di applicazioni
ciao a tutti!
Mi scuso per il disturbo, ma vi volevo chiedere questo esempio che ha fatto la prof per spiegarci che la composizione non è commutativa, ma non ho capito tanto bene il procedimento che ha fatto.
Allora data $ X = {a;b;c} $
Si ha una applicazione $ f : X \to X $ dove $ a \to a$ , $ b \to c$ e $c \to b$
Poi si ha un'altra applicazione $ g : X \to X $ dove $a \to a$ , $ b \to a$ e $c \to c$
Dobbiamo verificare che F composto con G è diverso di G composto con F.
Allora lei in soli due passaggi ha detto che in F composto con G si ha $ a \to b $
Mentre in G composto con F si ha $a \to c$
Quindi non vale la proprietà commutativa.
Mi potreste gentilmente dire che procedimento ha eseguito?
Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente.
Mi scuso per il disturbo, ma vi volevo chiedere questo esempio che ha fatto la prof per spiegarci che la composizione non è commutativa, ma non ho capito tanto bene il procedimento che ha fatto.
Allora data $ X = {a;b;c} $
Si ha una applicazione $ f : X \to X $ dove $ a \to a$ , $ b \to c$ e $c \to b$
Poi si ha un'altra applicazione $ g : X \to X $ dove $a \to a$ , $ b \to a$ e $c \to c$
Dobbiamo verificare che F composto con G è diverso di G composto con F.
Allora lei in soli due passaggi ha detto che in F composto con G si ha $ a \to b $
Mentre in G composto con F si ha $a \to c$
Quindi non vale la proprietà commutativa.
Mi potreste gentilmente dire che procedimento ha eseguito?
Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
@Mimmo95,
una funzione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano che soddisfa la prop. di univocità, ergo due funzioni sono uguali se hanno gli stessi elementi...
una funzione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano che soddisfa la prop. di univocità, ergo due funzioni sono uguali se hanno gli stessi elementi...
Scusami .. Ma non ho capito...
@Mimmo95,
cosa non hai capito?
cosa non hai capito?
Non ho capito quello che hai detto ... Cioè perché la prof ha messo che per F composto con G , a va in a ? Che procedimento ha fatto ? Dove lo ha sostituito ?
"Mimmo95":
Cioè perché la prof ha messo che per F composto con G , a va in a ? Che procedimento ha fatto ? Dove lo ha sostituito ?
perché \(f(g(a))=a\) stando alle ipotesi da te date..!
Mah ... Sono ancora perplesso ma comunque grazie mille lo stesso ...
@Mimmo95,
tagliando la testa al toro eliminando (spero) ogni perplessità, scrivi per favore \( f \circ g \) e \( g \circ f\)..
tagliando la testa al toro eliminando (spero) ogni perplessità, scrivi per favore \( f \circ g \) e \( g \circ f\)..
G composto con F è a -> a ; b -> a ; c -> b
Mentre F composto con G è a -> a ; b -> c ; c -> a.
Giusto ??
Mentre F composto con G è a -> a ; b -> c ; c -> a.
Giusto ??
Scusate.. C'è qualcuno ?
@Mimmo95,
non capisco cosa/come hai fatto, tu hai per ipotesi \(f,g \in X^X\) con \( X=\{a,b,c\}\) e:
\(f=\{(a,a),(b,c),(c,b)\}\)
\(g=\{(a,a),(b,a),(c,c)\}\)
con un po di calcoli, spero di non sbagliare, si nota che:
\(f \circ g=\{(a,a),(b,a),(c,b)\}\)
\(g \circ f=\{(a,a),(b,c),(c,a)\}\)
e chiaramente \(f \circ g \neq g \circ f \) ergo la composizione non è commutativa...
Spero ti è chiaro adesso!
Ciao
non capisco cosa/come hai fatto, tu hai per ipotesi \(f,g \in X^X\) con \( X=\{a,b,c\}\) e:
\(f=\{(a,a),(b,c),(c,b)\}\)
\(g=\{(a,a),(b,a),(c,c)\}\)
con un po di calcoli, spero di non sbagliare, si nota che:
\(f \circ g=\{(a,a),(b,a),(c,b)\}\)
\(g \circ f=\{(a,a),(b,c),(c,a)\}\)
e chiaramente \(f \circ g \neq g \circ f \) ergo la composizione non è commutativa...
Spero ti è chiaro adesso!
Ciao
Ciao Mimmo,
partecipo alla spiega.
Puoi schematizzare la $gf(x)$ con lo schema,
$a |-> a |-> a $
$b |-> c |-> c$
$c |-> b |->a$
che è praticamente la stessa cosa dei diagrammi di Venn.
Analogamente puoi schematizzare la $fg(x)$:
$a |-> a |-> a$
$b |-> a |-> a$
$c |-> c |->b$
La prof vuole mostrarti un controesempio per dimostrare che, almeno in un caso, $f(g(x) != g(f(x))$, con $x \in A$, e quindi in generale $gf != fg$.
Ecco un controesempio:
Applica $fg$ sull'elemento $b$.
Tramite la $g$, $b$ "va" in $a$, che a sua volta, tramite la $f$, va in $a$ stesso (coi diagrammi di Eulero-Venne e le "frecce" della composizione tutto è molto più facile da intuire).
Hai $g(b) = a$, quindi puoi scrivere $(fg)(b) = f(g(b)) = f(a) = a$.
Ora all'elemento $b$ applica $gf$:
$(gf)(b) = g(f(b)) $
Ma $f(b) = c$, quindi $(gf)(b) = g(f(b)) = g(c) = c$.
Lo vedi anche dallo schema: in un caso $b$ ti "porta" a $c$, in un caso ad $a$.
Quindi $fg(b) != gf(b)$.
Nel caso dell'elemento $a$, a me viene invece $fg(a) = gf(a)$: forse ho sbagliato qualcosa ma "non importa", perché è sufficiente il controesempio di $b$ per concludere che l'operazione non è commutativa.
La stessa cosa, in un'altra forma, ha scritto Garnak nel messaggio precedente:
\( f=\{(a,a),(b,c),(c,b)\} \) significa
$a |-> a; b |-> c; c |-> c$ tramite $f$
e così via.
Può darsi che, con tutti questi simboli, io abbia sbagliato dei calcoli (non sto a ricontrollare, vedi tu) ma spero di essere riuscita a spiegare il concetto.
partecipo alla spiega.
Puoi schematizzare la $gf(x)$ con lo schema,
$a |-> a |-> a $
$b |-> c |-> c$
$c |-> b |->a$
che è praticamente la stessa cosa dei diagrammi di Venn.
Analogamente puoi schematizzare la $fg(x)$:
$a |-> a |-> a$
$b |-> a |-> a$
$c |-> c |->b$
La prof vuole mostrarti un controesempio per dimostrare che, almeno in un caso, $f(g(x) != g(f(x))$, con $x \in A$, e quindi in generale $gf != fg$.
Ecco un controesempio:
Applica $fg$ sull'elemento $b$.
Tramite la $g$, $b$ "va" in $a$, che a sua volta, tramite la $f$, va in $a$ stesso (coi diagrammi di Eulero-Venne e le "frecce" della composizione tutto è molto più facile da intuire).
Hai $g(b) = a$, quindi puoi scrivere $(fg)(b) = f(g(b)) = f(a) = a$.
Ora all'elemento $b$ applica $gf$:
$(gf)(b) = g(f(b)) $
Ma $f(b) = c$, quindi $(gf)(b) = g(f(b)) = g(c) = c$.
Lo vedi anche dallo schema: in un caso $b$ ti "porta" a $c$, in un caso ad $a$.
Quindi $fg(b) != gf(b)$.
Nel caso dell'elemento $a$, a me viene invece $fg(a) = gf(a)$: forse ho sbagliato qualcosa ma "non importa", perché è sufficiente il controesempio di $b$ per concludere che l'operazione non è commutativa.
La stessa cosa, in un'altra forma, ha scritto Garnak nel messaggio precedente:
\( f=\{(a,a),(b,c),(c,b)\} \) significa
$a |-> a; b |-> c; c |-> c$ tramite $f$
e così via.
Può darsi che, con tutti questi simboli, io abbia sbagliato dei calcoli (non sto a ricontrollare, vedi tu) ma spero di essere riuscita a spiegare il concetto.
"garnak.olegovitc":
@Mimmo95,
non capisco cosa/come hai fatto, tu hai per ipotesi \(f,g \in X^X\) con \( X=\{a,b,c\}\) e:
\(f=\{(a,a),(b,c),(c,b)\}\)
\(g=\{(a,a),(b,a),(c,c)\}\)
con un po di calcoli, spero di non sbagliare, si nota che:
\(f \circ g=\{(a,a),(b,a),(c,b)\}\)
\(g \circ f=\{(a,a),(b,c),(c,a)\}\)
e chiaramente \(f \circ g \neq g \circ f \) ergo la composizione non è commutativa...
Spero ti è chiaro adesso!
Ciao
Caro garnak, io non sono proprio d'accordo con questa tua visione della matematica. Sei così fissato con il formalismo che non si capisce niente quando spieghi. (Inoltre, ma non riguarda questo post, tendi a perdere infinito tempo su quisquilie e sofismi vari, invece di concentrarti su problemi veri).
Siamo d'accordo che, formalmente, una funzione coincide con l'insieme che di solito si chiama grafico. Ma nella vita reale, nella manipolazione vera delle funzioni, non le si pensa mica così: è troppo ingombrante e scomodo. Molto meglio adottare lo schema "a freccia" di jitter, che sarà meno aderente all'immacolata definizione formale, ma ha anche il grosso pregio di essere comprensibile e, soprattutto, utilizzabile.
*** I.M.H.O. ***
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo