Componenti rispetto alla base di autovettori
Ciao a tutti...è il mio primo post, piacere..
Data un'applicazione lineare f(x,y,z) = (-x+4y+2z,-x+3y+z,-2x+4y+3z) mi si chiede di calcolare le componenti del vettori v = (3,1,1) rispetto alla base di autovettori di A.
Quindi, trovati gli autovalori e i rispettivi autovettori, scrivo la matrice P che permette la diagonalizzazione di A.
Ma cosa vuol dire trovare le componenti del vettori v rispetto alla base di autovettori di A?
Grazie a chi sarà così gentile da rispondermmi
Data un'applicazione lineare f(x,y,z) = (-x+4y+2z,-x+3y+z,-2x+4y+3z) mi si chiede di calcolare le componenti del vettori v = (3,1,1) rispetto alla base di autovettori di A.
Quindi, trovati gli autovalori e i rispettivi autovettori, scrivo la matrice P che permette la diagonalizzazione di A.
Ma cosa vuol dire trovare le componenti del vettori v rispetto alla base di autovettori di A?
Grazie a chi sarà così gentile da rispondermmi
Risposte
Ehm... Se la domanda è banale, oppure la richiesta non comprensibile anche per voi..fatemi sapere 
Gli autovettori di $A$ (chiamiamoli $v_1,v_2,v_3$, immagino che tu sappia già quanto valgono) formano una base.
Quindi $ccB={v_1,v_2,v_3}$
Devi trovare le componenti del vettore $v=(3,1,1)$ rispetto a questa base $ccB$.
Cioè devi trovare $a_1,a_2,a_3 in RR$ tali che $v= a_1*v_1+a_2*v_2+a_3*v_3$
In notazione matriciale, hai che $P=((v_1),(v_2),(v_3))$
Devi risolvere il sistema $P*a=v$ (dove $a=(a_1,a_2,a_3)$)
Quindi $ccB={v_1,v_2,v_3}$
Devi trovare le componenti del vettore $v=(3,1,1)$ rispetto a questa base $ccB$.
Cioè devi trovare $a_1,a_2,a_3 in RR$ tali che $v= a_1*v_1+a_2*v_2+a_3*v_3$
In notazione matriciale, hai che $P=((v_1),(v_2),(v_3))$
Devi risolvere il sistema $P*a=v$ (dove $a=(a_1,a_2,a_3)$)
Ciao, grazie per la risposta. Ho risolto il sistema, ed ho trovato le componenti a,b,c rispetto alla base a disposizione.
Tuttavia, ho ancora un problema con gli autovettori.
Ho un'altra applicazione lineare,
[tex]f(x,y) = (x + y, -2y).[/tex]
Devo trovare di nuovo le componenti di un vettore w rispetto alla base data dai due autovettori (che sono [tex](1,0) e (1,-3)[/tex] ) , ma non so quato vale w.
So solo che rispetto alla base canonica di [tex]R^2[/tex]
ha componenti [tex](1,1)[/tex]
. Come faccio, questa volta a calcolare le componenti, non sapendo quanto vale W?
Grazie
Tuttavia, ho ancora un problema con gli autovettori.
Ho un'altra applicazione lineare,
[tex]f(x,y) = (x + y, -2y).[/tex]
Devo trovare di nuovo le componenti di un vettore w rispetto alla base data dai due autovettori (che sono [tex](1,0) e (1,-3)[/tex] ) , ma non so quato vale w.
So solo che rispetto alla base canonica di [tex]R^2[/tex]
ha componenti [tex](1,1)[/tex]
. Come faccio, questa volta a calcolare le componenti, non sapendo quanto vale W?
Grazie
"Lilywhite":Sì che lo sai quanto vale $w$ ( a meno che tu non sappia cosa sia la base canonica, e non posso credere che non lo sai)
Devo trovare di nuovo le componenti di un vettore $w$ rispetto alla base data dai due autovettori (che sono $(1,0)$ e $(-3,1)$),
ma non so quato vale $w$. So solo che rispetto alla base canonica di $RR^2$ ha componenti $(1,1)$.
Come faccio, questa volta a calcolare le componenti, non sapendo quanto vale $w$?
[tex]w = 1(1,0) + 1(0,1) = (1,1)[/tex]?
Ho impostato successivamente il sistema [tex]a(1,0) + b(1,-3) = (1,1)[/tex]
[tex]a + b = 1;
-3b = 1[/tex]
Ma il mio risultato [tex]b= -1/3 , a= 2/3[/tex] non è corretto. Le componenti devono essere [tex]a = 4/3 , b= 1[/tex].
Ho impostato successivamente il sistema [tex]a(1,0) + b(1,-3) = (1,1)[/tex]
[tex]a + b = 1;
-3b = 1[/tex]
Ma il mio risultato [tex]b= -1/3 , a= 2/3[/tex] non è corretto. Le componenti devono essere [tex]a = 4/3 , b= 1[/tex].
Da quel sistema che hai impostato escono le soluzioni
[tex]\displaystyle b=-\frac{1}{3},a=\frac{4}{3}[/tex]
Se fossero giuste quelle che tu indichi come soluzione si avrebbe
[tex]\displaystyle \frac{4}{3}(1,0)+(1,-3)=(\frac{7}{3},-3)\neq (1,1)[/tex]
Dunque temo tu abbia la soluzione sbagliata per le mani, anche perché gli autovettori li ho controllati e vanno bene.
Paola
[tex]\displaystyle b=-\frac{1}{3},a=\frac{4}{3}[/tex]
Se fossero giuste quelle che tu indichi come soluzione si avrebbe
[tex]\displaystyle \frac{4}{3}(1,0)+(1,-3)=(\frac{7}{3},-3)\neq (1,1)[/tex]
Dunque temo tu abbia la soluzione sbagliata per le mani, anche perché gli autovettori li ho controllati e vanno bene.
Paola
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