Componenti rispetto alla base

[Izzo2]

Determinare la dimensione e una base per il seguente sottospazio di $R^4$.
$H= L ( ( 0 , 0 ),( 0, 2 ) ) , ( ( 1 , 0 ),( -1, 0 ) ), ( ( 0, 0 ),( 1, 0 ) ), ( ( 0 , 1 ),( -1, 1 ) )$.
Si provi inoltre che $( ( 2 , 1 ),( 0, 4) ) $ è un elemento di $H$ e se ne determinino le componenti rispetto alla base trovata in precedenza.

Allora,mettendo tutto sotto un'unica matrice io ho trovato dimensione , che risulta essere $4$ e base $B = {(0,0,0,2), (1,0,-1,0) , (0,0,1,0) , (0,1,-1,1)}$. Non capisco come si prova che $( ( 2 , 1 ),( 0, 4) ) $ è un elemento di $H$ e come trovare le componenti rispetto alla base. Potete aiutarmi?

[Izzo2]

up

[Magma1]

"Izzo":Allora,mettendo tutto sotto un'unica matrice [...]

Non capisco questo passaggio: che intendi con "mettere tutto sotto un'unica matrice".

"Izzo":Determinare la dimensione e una base per il seguente sottospazio di $H sube mathbb(R^4)$,
$ H= mathcal(L) (( ( 0 , 0 ),( 0, 2 ) ) ; ( ( 1 , 0 ),( -1, 0 ) ); ( ( 0, 0 ),( 1, 0 ) ); ( ( 0 , 1 ),( -1, 1 ) )) $

Hai il sottospazio $H$ che è generato da quelle matrici. Sai che dei vettori formano una base $hArr$ sono generatori $hArr$ sono linearmente indipendenti, cioè le tre cose sono equivalenti; pertanto se hai un insieme di generatori devi solo provare che essi sono l.i. . Quindi devi impostare una C.L. nulla con le matrici del sottospazio $H$ ed ottenere che l'unica soluzione sia quella banale (affinché siano l.i., se così non fosse vuol dire che non sono l.i.).

"Izzo":
Non capisco come si prova che $( ( 2 , 1 ),( 0, 4) ) $ è un elemento di $H$

$( ( 2 , 1 ),( 0, 4) )in H hArr$ è C.L. dei generatori di $H$. Cioè?