Componenti delle coniche

[alex170]

ciao a tutti! ho un esercizio che mi lascia un dubbio:
Determinare un'equazione cartesiana per l'iperbole equilatera passante per il punto improprio dell'asse x, tangente in $P(3,1)$ alla retta di equazione $x-2y-1=0$ e passante per $R(1,2)$

quello a cui ho pensato io è:
visto che passa per il punto improprio sarà tangente alla retta impropria $T=0$, quindi sarà il fascio di coniche bitangenti alla retta propria di equazione omogenea $X-2Y-T=0$ e a $T=0$ quindi avrà come componenti la conica
$C_1:(X-2Y-T)T=0$
e la conica formata dalla retta per i punti di tangenza ($X_oo(1,0,0)$ e $P$) contata due volte
$C_2:(Y-T)^2=0$
allora la conica sarà data dal fascio
$(X-2Y-T)T+k(Y-T)^2=0$
imponendo il passaggio per $R$ trovo $k$ ed è fatto


la soluzione mi dice:
visto che è una iperbole equilatera ha come asintoti le rette parallele all'asse x e all'asse y. Quella parallela a x è $y=h$.
Allora
$C_1:(X-2Y-T)(Y-hT)=0$
e $C_2$ è la stessa.
il fascio sarà
$(X-2Y-T)(Y-hT)+k(Y-T)^2=0$
imponendo il passaggio per $R$ e $Y_oo(0,1,0)$ (il punto improprio di y) ottengo $k$ e $h$

Ora....perchè dovrebbe avere ragione lui?
cosa sbaglio nel mio ragionamento?

Grazie!!

[alex170]

siete rimasti scioccati dalle cavolate che ho sparato

scherzi a parte, qualcuno sa aiutarmi?