Componenti connesse di un sottoinsieme

[nadia891]

Ciao a tutti,
potreste dirmi come è definita la componente connessa di $A$ , con $A$ un aperto dello spazio topologico $S$ ?

[Studente Anonimo]

Formalmente...

Dato uno spazio topologico [tex]X[/tex], definisci la seguente relazione su [tex]X[/tex]. Due elementi [tex]x,y \in X[/tex] sono in relazione se non esiste nessun chiusaperto non vuoto [tex]U[/tex] di [tex]X[/tex] diverso da [tex]X[/tex] con la proprietà che [tex]x \in U[/tex] e [tex]y \not \in U[/tex]. Si tratta di una relazione di equivalenza, e le sue classi si chiamano le componenti connesse di [tex]X[/tex].

Informalmente, la componente connessa di [tex]x \in X[/tex] è il più grande sottospazio connesso di [tex]X[/tex] contenente [tex]x[/tex].

[nadia891]

in poche parole sarebbe la classe di equivalenza formata dagli $y in S $ tale che saono in relazione con $ x in X$?

[Studente Anonimo]

Non capisco cosa vuoi dire. La componente connessa di [tex]x \in X[/tex] è l'insieme degli [tex]y \in X[/tex] tali che non esiste nessuna partizione [tex]X=U \cup V[/tex] con [tex]U,V[/tex] aperti disgiunti tale che [tex]x \in U[/tex] e [tex]y \in V[/tex].

[mistake89]

Definizione equivalente potrebbe essere questa.
Due elementi $x,y in S$ spazio topologico sono in relazione se e soltanto se esiste $X$ connesso di $S$ tale che $x,y in X$.
Quindi la componente connessa di $x$ è il più grande connesso che contiene $x$.