Componenti connesse = componenti connesse per archi
Teorema: Sia $(M,A)$ una varietà topologica, con $M$ spazio topologico di Hausdorff. Dimostrare che le componenti connesse di $M$ sono esattamente le componenti connesse per archi di $M$.
A lezione abbiamo dimostrato questo teorema in un certo modo. Provando a ridimostrarlo a casa, senza leggere gli appunti, mi è venuta spontanea una via alternativa. Vorrei sapere se è corretta.
Sicuramente una componente connessa per archi è contenuta in una componente connessa. In simboli: $C_{arc} sube C$.
Supponiamo che $C - C_{arc} != vuot o$. $C$ e $C_{arc}$ sono aperte in $M$, poichè le componenti connesse e le componenti connesse per archi di una varietà topologica sono aperte (già dimostrato).
$C - C_{arc}$ non può allora essere aperto, altrimenti $C$ sarebbe unione di due aperti disgiunti, quindi non sarebbe connesso. Devono esistere allora dei punti di frontiera di $C - C_{arc}$. Preso uno di questi punti, e preso un suo intorno $B$ omeomorfo ad un disco aperto di $RR^n$, che contiene punti di $M-(C - C_{arc})$, essendo questo intorno connesso, si avrebbe $B uu C$ connesso, ma allora $B sube C$ per la massimalità di $C$. Segue che $B$ contiene punti di $C - C_{arc}$ e di $C_{arc}$. $B$ è però connesso per archi, quindi si perviene ad un assurdo.
L'unica possibilità è allora che $C - C_{arc}$ sia vuoto.
A lezione abbiamo dimostrato questo teorema in un certo modo. Provando a ridimostrarlo a casa, senza leggere gli appunti, mi è venuta spontanea una via alternativa. Vorrei sapere se è corretta.
Sicuramente una componente connessa per archi è contenuta in una componente connessa. In simboli: $C_{arc} sube C$.
Supponiamo che $C - C_{arc} != vuot o$. $C$ e $C_{arc}$ sono aperte in $M$, poichè le componenti connesse e le componenti connesse per archi di una varietà topologica sono aperte (già dimostrato).
$C - C_{arc}$ non può allora essere aperto, altrimenti $C$ sarebbe unione di due aperti disgiunti, quindi non sarebbe connesso. Devono esistere allora dei punti di frontiera di $C - C_{arc}$. Preso uno di questi punti, e preso un suo intorno $B$ omeomorfo ad un disco aperto di $RR^n$, che contiene punti di $M-(C - C_{arc})$, essendo questo intorno connesso, si avrebbe $B uu C$ connesso, ma allora $B sube C$ per la massimalità di $C$. Segue che $B$ contiene punti di $C - C_{arc}$ e di $C_{arc}$. $B$ è però connesso per archi, quindi si perviene ad un assurdo.
L'unica possibilità è allora che $C - C_{arc}$ sia vuoto.
Risposte
Poiché supponi che \(C\setminus C_{\text{arc}}\) abbia punti frontiera allora è ovvio, per le dovute definizioni, che \(B\cap(C\setminus C_{\text{arc}})\neq\emptyset\).
Sì, quello che dici è chiaro. Tutto il discorso che faccio mi serve infatti per dimostrare che $B nn C_{arc} != vuot o$. Dimostrando che $B sube C$, ed essendo $B$ intorno di un punto di frontiera, deve contenere anche elementi che non sono di $C-C_{arc}$, quindi elementi di $C_{arc}$.
Quindi va bene come lo dimostro?
Per quel che mi ricordo, non trovai null'altro da scriverti; ma aspetta domani per eventuali e ulteriori commenti. 
EDIT delle 8:00 A.M. 10/IX/2011 Senza stampare un altro post: non ho nulla da aggiungere.
EDIT delle 8:00 A.M. 10/IX/2011 Senza stampare un altro post: non ho nulla da aggiungere.
Bene, grazie.
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