Componente normale di un vettore
salve a tutti, sono nuovo del forum. vorrei chiedere chiarimenti riguardo un esercizio:
Si consideri $RR^3$ con il prodotto scalare canonico, e sia $V=\{x in RR^3 : x_1+2x_2-2x_3=0\}$. Sia $\Gamma$ l'insieme degli $a in RR^3$ la cui componente normale rispetto a $V$ abbia norma 9. Si dia una rappresentazione parametrica di $\Gamma$.
Ho pensato quindi che $\Gamma=\{a in RR^3 : AAa'$ proiezione ortogonale di $a$ rispetto a $V$, $||a-a'||^2=9\}$ (dove $||a-a'||$ è la norma del vettore $a-a'$).
Mi sono ricavato allora una base ortogonale di $V=<((2),(0),(1)), ((0),(1),(0))>$ e l'ho ortonormalizzata, ricavando $V=<1/sqrt(5)((2),(0),(1)), ((0),(1),(0))>$.
A questo punto mi chiedo se è giusto considerare un vettore generico $a=((a_1),(a_2),(a_3)) in \Gamma$, ricavare la proiezione ortogonale $a'$ e trovare una forma parametrica di $a$ tramite la relazione $||a-a'||^2=9$.
Consigli? Il mio procedimento è giusto fino ad ora?
p.s. mi hanno parlato di un procedimento più "geometrico" per la risoluzione di questo tipo di esercizi, che evita questi calcoli, ma non ho idea di quale possa essere, qualcuno ha idea di quale possa essere?
Si consideri $RR^3$ con il prodotto scalare canonico, e sia $V=\{x in RR^3 : x_1+2x_2-2x_3=0\}$. Sia $\Gamma$ l'insieme degli $a in RR^3$ la cui componente normale rispetto a $V$ abbia norma 9. Si dia una rappresentazione parametrica di $\Gamma$.
Ho pensato quindi che $\Gamma=\{a in RR^3 : AAa'$ proiezione ortogonale di $a$ rispetto a $V$, $||a-a'||^2=9\}$ (dove $||a-a'||$ è la norma del vettore $a-a'$).
Mi sono ricavato allora una base ortogonale di $V=<((2),(0),(1)), ((0),(1),(0))>$ e l'ho ortonormalizzata, ricavando $V=<1/sqrt(5)((2),(0),(1)), ((0),(1),(0))>$.
A questo punto mi chiedo se è giusto considerare un vettore generico $a=((a_1),(a_2),(a_3)) in \Gamma$, ricavare la proiezione ortogonale $a'$ e trovare una forma parametrica di $a$ tramite la relazione $||a-a'||^2=9$.
Consigli? Il mio procedimento è giusto fino ad ora?
p.s. mi hanno parlato di un procedimento più "geometrico" per la risoluzione di questo tipo di esercizi, che evita questi calcoli, ma non ho idea di quale possa essere, qualcuno ha idea di quale possa essere?
Risposte
"La componente normale rispetto a $V$ abbia norma 9"... mi sbaglio o sono tutti e soli i punti dello spazio distanti $9$ da $V$?
esercizio risolto! c'ero quasi, bastava solo ragionarci un altro po' su.
Grazie!
Grazie!
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