Completare una base
Dati i due sottoinsiemi in $RR^4$:
$H={(x,-x,z,0)|x,z∈RR}$
$K={(x,y,z,-z)|z,y,z∈RR}$
Completare una base per $H∩K$ in $RR^4$.
Allora trovo una base per $H$. È $B(H)={(1,-1,0,0)}$ o è $B(H)={(1,0,0,0)(0,-1,0,0)}$?
Poi la base di K. È $B(K)={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,-1)}$ o è $B(K)={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,-1)}$?
Nel primo caso per entrambe le basi, applicando la formula di Grassman la dim($H∩K$)=1 e il vettore che compone la base di $H∩K$ è (1,-1,0,0). Applicando però l'algoritmo per completare la base, e quindi inserendo la base canonica di $RR^4$ scartando i vettori l.d., mi esce $B(H∩K)={(1,-1,0,0),(0,0,1,0)(0,0,0,1)}$. E qual è poi l'altro vettore? O devo scrivere $B(H∩K)={(1,0,0,0), (0,-1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}$?
$H={(x,-x,z,0)|x,z∈RR}$
$K={(x,y,z,-z)|z,y,z∈RR}$
Completare una base per $H∩K$ in $RR^4$.
Allora trovo una base per $H$. È $B(H)={(1,-1,0,0)}$ o è $B(H)={(1,0,0,0)(0,-1,0,0)}$?
Poi la base di K. È $B(K)={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,-1)}$ o è $B(K)={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,-1)}$?
Nel primo caso per entrambe le basi, applicando la formula di Grassman la dim($H∩K$)=1 e il vettore che compone la base di $H∩K$ è (1,-1,0,0). Applicando però l'algoritmo per completare la base, e quindi inserendo la base canonica di $RR^4$ scartando i vettori l.d., mi esce $B(H∩K)={(1,-1,0,0),(0,0,1,0)(0,0,0,1)}$. E qual è poi l'altro vettore? O devo scrivere $B(H∩K)={(1,0,0,0), (0,-1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}$?
Risposte
Fermati un attimo a riflettere.
Che cos'è la base di uno spazio vettoriale?! Che cos'è la dimensione di uno spazio vettoriale?! Guarda la teoria, studiala per bene, perchè non ti sono proprio chiari i concetti principali dell'algebra lineare. Ad esempio, se io ho un sottospazio H,
$H={(x,-x,z,0): x,z in RR}$ sai trovare la dimensione!?
Non sparare a caso delle risposte...usa le definizioni e un pò di logica nel ragionamento, altrimenti vai incontro a errori facilmente evitabili.
Che cos'è la base di uno spazio vettoriale?! Che cos'è la dimensione di uno spazio vettoriale?! Guarda la teoria, studiala per bene, perchè non ti sono proprio chiari i concetti principali dell'algebra lineare. Ad esempio, se io ho un sottospazio H,
$H={(x,-x,z,0): x,z in RR}$ sai trovare la dimensione!?
Non sparare a caso delle risposte...usa le definizioni e un pò di logica nel ragionamento, altrimenti vai incontro a errori facilmente evitabili.
La base di H è ${(1,-1,0,0)(0,0,1,0)}$ e la sua dimensione è 2, hai ragione, ma mi ero dimenticato di scrivere il secondo vettore. Poi ho pensato, per completare l'intersezione ad una base $RR^4$ inserendo la base canonica, posso scartare o (0,1,0,0) o (1,0,0,0) perché si possono scrivere come combinazione lineare di altri vettori presenti in quella base. Giusto? E quindi la base risulterebbe o $B(H∩K)={(1,-1,0,0)(1,0,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)}$ o $B(H∩K)={(1,-1,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)}$
Se vogliamo rimanere in tema: saper applicare la formula di Grassman non implica sapere cos'è la dimensione di uno spazio vettoriale. Detto questo, diciamo che una volta trovate le basi dei due sottospazi, per studiare l'intersezione, il metodo generale è quello di scrivere le equazioni che rappresentano i sottospazi e metterle a sistema. Non puoi prendere solo i vettori in comune, perchè non è detto che siano gli unici.
P.S. E poi vedi bene, che neanche Grassman sai applicare, perchè la formula ci dice $dimH+dimK=dim(H∩K)+dim(H+K)$, tu conosci solo $dimH , dim K$, quindi non puoi dire ancora nulla a priori sulle dimensioni degli altri sottospazi
P.S. E poi vedi bene, che neanche Grassman sai applicare, perchè la formula ci dice $dimH+dimK=dim(H∩K)+dim(H+K)$, tu conosci solo $dimH , dim K$, quindi non puoi dire ancora nulla a priori sulle dimensioni degli altri sottospazi
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