Completare ad una base un sistema di vettori?
Ciao a tutti,
sono alle prese con esercizi che mi chiedono di indicare se è possibile completare ad una base un sistema di vettori e, in caso affermativo, esibirne un completamento.
Non ho mai fatto questo tipo di esercizi e sinceramente, navigando online, non ho trovato molta roba :/
potreste aiutarmi?
es, se volessi stabilire se è possibile completare ad una base di R^3 il sistema di vettori S={(0,1,-1),(0,1,0)} e in caso affermativo, esibirne un completamento, come dovrei fare?
tale sistema è linearmente indipendente ma non è sistema di generatori (di conseguenza non è base di R^3)... queste sono info che possono essermi utli?
Ringrazio in anticipo
sono alle prese con esercizi che mi chiedono di indicare se è possibile completare ad una base un sistema di vettori e, in caso affermativo, esibirne un completamento.
Non ho mai fatto questo tipo di esercizi e sinceramente, navigando online, non ho trovato molta roba :/
potreste aiutarmi?
es, se volessi stabilire se è possibile completare ad una base di R^3 il sistema di vettori S={(0,1,-1),(0,1,0)} e in caso affermativo, esibirne un completamento, come dovrei fare?
tale sistema è linearmente indipendente ma non è sistema di generatori (di conseguenza non è base di R^3)... queste sono info che possono essermi utli?
Ringrazio in anticipo
Risposte
Tieni presente che sei hai uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ e $v_1, ..., v_n in V$, allora:
Perciò, se hai un insieme di vettori l.i., affinché esso sia una base, occorre 'ampliare' tale insieme con vettori che non siano C.L. dei vettori dati.
Inoltre, trovandoti nello spazio $RR^3$, puoi sapere, grazie al lemma di Steinitz, che ci possono essere al più tre vettori l.i..
Che vettore manca affinché l'insieme ${((0) ,(1),(-1)),((0),(1),(0))}$ sia una base?
$v_1, ..., v_n$ sono base di $V hArr v_1, ..., v_n$ sono generatori $hArr v_1, ..., v_n$ sono l.i.
Perciò, se hai un insieme di vettori l.i., affinché esso sia una base, occorre 'ampliare' tale insieme con vettori che non siano C.L. dei vettori dati.
Inoltre, trovandoti nello spazio $RR^3$, puoi sapere, grazie al lemma di Steinitz, che ci possono essere al più tre vettori l.i..
Che vettore manca affinché l'insieme ${((0) ,(1),(-1)),((0),(1),(0))}$ sia una base?
@Magma,
$v_n $ e nn $v_2$..
@RinOkumura,
ha tutte le condizioni per applicare il teorema dello scarto e del completamento alla base, ovvero hai un sistema di \(2 \leq \dim_{\Bbb{R}}(\Bbb{R}^3) \) vettori che e´ libero, e conosci gia´ una base per \(\Bbb{R}^3\) ovvero quella canonica, considera il sistema di vettori \(S_1=\{(0,1,-1),(0,1,0),e_1,e_2,e_3\}\), certamente \(S\) genera \(\Bbb{R}^3\) ma per essere base deve essere anche libero e libero non e´ (se lo fosse allora i generatori devono essere minori o uguale alla \(\dim_{\Bbb{R}}(\Bbb{R}^3)\) e non e´ questo il caso, ne abbiamo \(5\) generatori), allora "scartiamo" ragionevolmente alcuni vettori, mantenendo sempre con quelli che rimangono il fatto di generare \(S_1\), sino al "completamento" di una base.. (ho detto troppo, prova tu, devi sfruttare alcune proprieta´)
$v_n $ e nn $v_2$..
@RinOkumura,
"RinOkumura":
se volessi stabilire se è possibile completare ad una base di R^3 il sistema di vettori S={(0,1,-1),(0,1,0)} e in caso affermativo, esibirne un completamento, come dovrei fare?
tale sistema è linearmente indipendente ma non è sistema di generatori (di conseguenza non è base di R^3)... queste sono info che possono essermi utli?
ha tutte le condizioni per applicare il teorema dello scarto e del completamento alla base, ovvero hai un sistema di \(2 \leq \dim_{\Bbb{R}}(\Bbb{R}^3) \) vettori che e´ libero, e conosci gia´ una base per \(\Bbb{R}^3\) ovvero quella canonica, considera il sistema di vettori \(S_1=\{(0,1,-1),(0,1,0),e_1,e_2,e_3\}\), certamente \(S\) genera \(\Bbb{R}^3\) ma per essere base deve essere anche libero e libero non e´ (se lo fosse allora i generatori devono essere minori o uguale alla \(\dim_{\Bbb{R}}(\Bbb{R}^3)\) e non e´ questo il caso, ne abbiamo \(5\) generatori), allora "scartiamo" ragionevolmente alcuni vettori, mantenendo sempre con quelli che rimangono il fatto di generare \(S_1\), sino al "completamento" di una base.. (ho detto troppo, prova tu, devi sfruttare alcune proprieta´)
"garnak.olegovitc":
@Magma,
$v_n $ e nn $v_2$
Opss... sì, giusto; ho sbagliato a pigiare il tasto
Grazie per avermelo fatto notare, provvedo alla correzione
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