Completamento di una base
Salve ho un'applicazione lineare $f:RR^5->RR^5$, $A$ è la matrice associata alla trasformazione:
$A=((1,0,1,0,1),(0,2,0,1,0))$
Ora lo spazio vettoriale $V$ associato all'applicazione lineare f è di dimensione $5$, e le soluzioni del sistema generano un sottospazio vettoriale $W$ di dimensione $3$.
Ora se consideriamo il sottospazio $V/W$ questo ha dimensione $2$.
Problema come trovo una base di $V/W$ che sia completamento della base di $V$, insieme alla base di $W$ che ho trovato risolvendo il sistema lineare associato alla matrice $A$.
Grazie a presto;)
$A=((1,0,1,0,1),(0,2,0,1,0))$
Ora lo spazio vettoriale $V$ associato all'applicazione lineare f è di dimensione $5$, e le soluzioni del sistema generano un sottospazio vettoriale $W$ di dimensione $3$.
Ora se consideriamo il sottospazio $V/W$ questo ha dimensione $2$.
Problema come trovo una base di $V/W$ che sia completamento della base di $V$, insieme alla base di $W$ che ho trovato risolvendo il sistema lineare associato alla matrice $A$.
Grazie a presto;)
Risposte
Non so se ho capito bene la domanda, provo a riformularla e a rispondere.
Hai un'applicazione lineare $f:RR^5\toRR^5$. Chiami $V=RR^5, W="ker"\ f$. Hai che $"dim"\ W=3$, quindi la dimensione del quoziente $V//W$ è 2. Perché? Bisogna trovare una base di $V//W$. Per farlo, considerato che gli elementi di $V//W$ sono classi laterali (cose tipo $v+W={v+w\ |\ w\inW}$), scegliamo una base di $W$ $(w_1, w_2, w_3)$ e completiamo in una base di $V$: otteniamo $(w_1, w_2, w_3, v_4, v_5)$.
Proposizione: $(w_1+W, w_2+W, w_3+W, v_4+W, v_5+W)$ è un sistema di generatori di $V//W$. La dimostrazione è abbastanza ovvia.
Osserviamo però che i vettori $(w_1, w_2, w_3)$ corrispondono a un solo elemento: $w_1+W, w_2+W, w_3+W=W$. Nel quoziente $V//W$, $W$ è lo zero. Invece $v_4, v_5$ corrispondono a $v_4+W!=v_5+W$ e risulta che sono anche lin. indipendenti. Quindi $v_4+W, v_5+W$ è un sistema di generatori linearmente indipendenti, ovvero una base, e la dimensione di $V//W$ è 2.
Ricetta pratica per trovare questa base: prendere una base del $"ker"\ f$, completare in una base di $V$, i vettori di questa base che non sono in $"ker"\ f$ corrispondono alla tua base di $V//W$.
Era questo che volevi sapere?
Hai un'applicazione lineare $f:RR^5\toRR^5$. Chiami $V=RR^5, W="ker"\ f$. Hai che $"dim"\ W=3$, quindi la dimensione del quoziente $V//W$ è 2. Perché? Bisogna trovare una base di $V//W$. Per farlo, considerato che gli elementi di $V//W$ sono classi laterali (cose tipo $v+W={v+w\ |\ w\inW}$), scegliamo una base di $W$ $(w_1, w_2, w_3)$ e completiamo in una base di $V$: otteniamo $(w_1, w_2, w_3, v_4, v_5)$.
Proposizione: $(w_1+W, w_2+W, w_3+W, v_4+W, v_5+W)$ è un sistema di generatori di $V//W$. La dimostrazione è abbastanza ovvia.
Osserviamo però che i vettori $(w_1, w_2, w_3)$ corrispondono a un solo elemento: $w_1+W, w_2+W, w_3+W=W$. Nel quoziente $V//W$, $W$ è lo zero. Invece $v_4, v_5$ corrispondono a $v_4+W!=v_5+W$ e risulta che sono anche lin. indipendenti. Quindi $v_4+W, v_5+W$ è un sistema di generatori linearmente indipendenti, ovvero una base, e la dimensione di $V//W$ è 2.
Ricetta pratica per trovare questa base: prendere una base del $"ker"\ f$, completare in una base di $V$, i vettori di questa base che non sono in $"ker"\ f$ corrispondono alla tua base di $V//W$.
Era questo che volevi sapere?
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