Completamento della base

[skeggia18]

Sia R4 lo spazio vettoriale di dim4, B una base di V contenuta in R4 generato dai vettori v1=(1,2,0,2) v2=(2,1,1,0) e v3=(5,4,2,2). Trovare una base B’ di V. se B’’ è una base di R4 ottenuta da B’ applicando il teorema del completamento della base. Trovare le eq del cambiamento di base.

Devo verificare che i tre vettori sono indipendenti, lo sono quindi formano la base B.

Per trovare la base B’ la trovo da un vettore scelto a caso e v1,v2 sempre indipendenti.

Per trovare B’’ da B’ come faccio con il terema del completamento??

Grazie…

[dissonance]

"skeggia18":

Per trovare la base B’ la trovo da un vettore scelto a caso e v1,v2 sempre indipendenti.

che cosa vuoi dire? da quale insieme di vettori intendi scegliere a caso?

Comunque per il teorema di completamento in genere si fa così: in uno spazio vettoriale $V$, $dim V=n_0$ (per esempio $RR^(n_0)$), supponiamo $1<=k
$text(1° passo))$ $\forall i=1ldotsn$ confrontiamo i $v_i in V_0$ e $W_0={w_1,ldots,w_k}$ scartando i $v_i$ lin. dip. da $w_1,ldots, w_k$; alla fine di questo passo avremo ottenuto un insieme $V_1={v_1^1, ldots, v_(n_1)^1}$ contenente i vettori non scartati. Formiamo l'insieme $W_1=W uu {v_1^1}$;

$text(2° passo))$ Come sopra, però confrontando $V_1$ e $W_1$: (adesso bisogna scartare i vettori di $V_1$ lin. dip. dai vettori di $W_1$), al termine otteniamo un insieme $V_2={v_1^2,ldots,v_(n_2)^2}$, e $W_2=W_1 uu {v_1^2}$;

$vdots$

Questo algoritmo deve terminare in un numero finito di passi, e precisamente quando otteniamo $W_(n_0-k)$, per costruzione un insieme di $n_0$ vettori lin. indip. (quindi una base di V), i cui primi $k$ vettori sono $w_1,ldots, w_k$.

In pratica cosa puoi fare: sei in $RR^4$, quindi hai automaticamente la base canonica $(1,0,0,0),ldots,(0,0,0,1)$. Affianca questa alla tua base B' e procedi per scarti successivi come spiegato prima.

Spero di essere stato abbastanza chiaro, comunque questa è una delle classiche cose più facili da fare che non da dire. Se ci sono problemi riposta.