Completamento ad una base
Ciao a tutti, ho il seguente esercizio:
Mostrare che i vettori $(3,2,4,5),(2,4,3,5),(4,3,−2,5)$ sono linearmente indipendenti in $R4$ e completarli ad una base di $R4$.
Per quanto riguarda la prima parte(verifica lineare indipendenza) l'ho fatta tramite il metodo di Gauss e mi risultano essere linearmente indipendenti, mentre non riesco a capire cosa significhi "completarli ad una base di $R4$."
Mi potreste aiutare a riguardo?
Vi ringrazio anticipatamente
Mostrare che i vettori $(3,2,4,5),(2,4,3,5),(4,3,−2,5)$ sono linearmente indipendenti in $R4$ e completarli ad una base di $R4$.
Per quanto riguarda la prima parte(verifica lineare indipendenza) l'ho fatta tramite il metodo di Gauss e mi risultano essere linearmente indipendenti, mentre non riesco a capire cosa significhi "completarli ad una base di $R4$."
Mi potreste aiutare a riguardo?
Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, quindi teoricamente si dovrebbe dimostrare che i vettori siano indipendenti e che generino, mediante combinazioni lineari, un determinato spazio. Tuttavia l'esercizio ti dà un insieme di soli tre vettori, che, da soli, non possono generare tutto $mathbb(R^4)$; tuttavia esiste una proposizione secondo cui ad un insieme di vettori linearmente indipendenti puoi sempre aggiungere un altro vettore lin. indipendente senza alterare l'indipendenza lineare. Per cui, verificato che l'indipendenza dei tre vettori dati, puoi tranquillamente aggiungerne un altro (ovviamente anch'esso linearmente indipendente). In questo modo ottieni un insieme di generatori linearmente indipendenti che, dunque, è una base; questo è il senso del completamento a una base.
ok, quindi se ho capito bene devo aggiungere un quarto vettore e devo controllare che tutti insieme siano linearmente indipendenti e quindi generano R4 e quindi sono una base di R4. è così?
Però a livello pratico come faccio a scegliere questo vettore? cioè potrei scegliere tanti vettori che sono linearmente dipendenti, come lo faccio a scegliere in maniera mirata? o devo fare semplicemente tentativi e sperare di essere fortunato di scegliere subito un vettore che renda l'insieme di questi vettori linearmente indipendenti?
Però a livello pratico come faccio a scegliere questo vettore? cioè potrei scegliere tanti vettori che sono linearmente dipendenti, come lo faccio a scegliere in maniera mirata? o devo fare semplicemente tentativi e sperare di essere fortunato di scegliere subito un vettore che renda l'insieme di questi vettori linearmente indipendenti?
"andreasgambi":
Però a livello pratico come faccio a scegliere questo vettore?
Ciao.
Un possibile modo (un po' empirico) potrebbe consistere nel ricavare il sottospazio generato dai tre vettori dati e di dedurre la possibile composizione di un vettore non appartenente a tale sottospazio.
Sia $W=mathcalL{(3,2,4,5),(2,4,3,5),(4,3,−2,5)}$
Quindi
$W={a(3,2,4,5)+b(2,4,3,5)+c(4,3,−2,5):a,b,c in RR}$
$W={(3a+2b+4c,2a+4b+3c, 4a+3b-2c,5a+5b+5c):a,b,c in RR}$
si scelgono valori casuali della terna di scalari $(a,b,c)!=(0,0,0)$, per esempio, $a=1,b=c=0$; così si ottiene il vettore $(3,2,4,5) in W$, dopodichè si sceglie, più o meno casualmente, un vettore con una componente alterata rispetto a $(3,2,4,5)$, per esempio $(2,2,4,5)$, in modo da avere un vettore non appartenente a $W$.
Ovviamente, successivamente si dovrebbe verificare che è vero che $(2,2,4,5) notin W$, ma qui è solo questione di conti.
Saluti.
Oppure riduci per righe la matrice, avente per righe i tre vettori, in modo tale da vedere ad occhio nudo un vettore che sia linearmente indipendente.
Ciao a tutti, scusate io sono all'inizio dello studio di questi argomenti e non ho ben capito i vostri procedimenti.
Nel procedimento di alessandro una volta trovato il vettore $(3,2,4,5)$ cosa ci faccio?
Nel procedimento di Gold faccio una matrice dove per riga metto i vettori cosa applico il Metodo di Gauss? cosa intendi per vedere ad occhio nudo un vettore linearmente indipendente? da dove lo vedo
Mi sono fatto passare gli appunti da un amico in cui c'è la lezione del prof in cui svolge questo esercizio, e praticamente lui crea una matrice dove mette i 3 vettori per colonna e poi aggiunge una base di R4,in particolare quella canonica, ed esegue il procedimento di Gauss e alla fine prende i vettori che hanno il Pivot.
Cosa ne pensate?
Nel procedimento di alessandro una volta trovato il vettore $(3,2,4,5)$ cosa ci faccio?
Nel procedimento di Gold faccio una matrice dove per riga metto i vettori cosa applico il Metodo di Gauss? cosa intendi per vedere ad occhio nudo un vettore linearmente indipendente? da dove lo vedo
Mi sono fatto passare gli appunti da un amico in cui c'è la lezione del prof in cui svolge questo esercizio, e praticamente lui crea una matrice dove mette i 3 vettori per colonna e poi aggiunge una base di R4,in particolare quella canonica, ed esegue il procedimento di Gauss e alla fine prende i vettori che hanno il Pivot.
Cosa ne pensate?
Ciao.
Semplicemente si prova a cambiare una componente; io avevo preso il vettore $ (2,2,4,5) $, cioè avevo cambiato la prima componente.
Presumo che Gold D Roger alludesse proprio all'algoritmo di Gauss; applicandolo alla matrice con vettori riga dati dai tre vettori assegnati, si ottiene
$rk((3,2,4,5),(2,4,3,5),(4,3,-2,5))=...=rk((3,2,4,5),(0,8,1,5),(0,0,176,45))=3$
che conferma che i tre vettori dati sono linearmente indipendenti; siccome vale
$mathcalL{(3,2,4,5),(2,4,3,5),(4,3,-2,5)}=mathcalL{(3,2,4,5),(0,8,1,5),(0,0,176,45)}$
il quarto vettore da scegliere dovrebbe essere tale per cui, aggiungendo alla matrice
$((3,2,4,5),(0,8,1,5),(0,0,176,45))$
una quarta riga formata dalle componenti del nuovo vettore $(x,y,z,t)$, si dovrebbe fare in modo che
$((3,2,4,5),(0,8,1,5),(0,0,176,45),(x,y,z,t))$
sia una matrice triangolare superiore; per fare ciò basta scegliere, ad esempio, $(x,y,z,t)=(0,0,0,1)$.
In sostanza, se ho capito, si avrebbe una matrice con tre righe e sette colonne su cui applicare l'algoritmo di Gauss; credo che dovrebbe funzionare, ma, forse, a questo punto, il metodo di Gold D Roger richiederebbe qualche conto in meno.
Saluti.
"andreasgambi":
Nel procedimento di alessandro una volta trovato il vettore $ (3,2,4,5) $ cosa ci faccio?
Semplicemente si prova a cambiare una componente; io avevo preso il vettore $ (2,2,4,5) $, cioè avevo cambiato la prima componente.
"andreasgambi":
Nel procedimento di Gold faccio una matrice dove per riga metto i vettori cosa applico il Metodo di Gauss? cosa intendi per vedere ad occhio nudo un vettore linearmente indipendente? da dove lo vedo
Presumo che Gold D Roger alludesse proprio all'algoritmo di Gauss; applicandolo alla matrice con vettori riga dati dai tre vettori assegnati, si ottiene
$rk((3,2,4,5),(2,4,3,5),(4,3,-2,5))=...=rk((3,2,4,5),(0,8,1,5),(0,0,176,45))=3$
che conferma che i tre vettori dati sono linearmente indipendenti; siccome vale
$mathcalL{(3,2,4,5),(2,4,3,5),(4,3,-2,5)}=mathcalL{(3,2,4,5),(0,8,1,5),(0,0,176,45)}$
il quarto vettore da scegliere dovrebbe essere tale per cui, aggiungendo alla matrice
$((3,2,4,5),(0,8,1,5),(0,0,176,45))$
una quarta riga formata dalle componenti del nuovo vettore $(x,y,z,t)$, si dovrebbe fare in modo che
$((3,2,4,5),(0,8,1,5),(0,0,176,45),(x,y,z,t))$
sia una matrice triangolare superiore; per fare ciò basta scegliere, ad esempio, $(x,y,z,t)=(0,0,0,1)$.
"andreasgambi":
Mi sono fatto passare gli appunti da un amico in cui c'è la lezione del prof in cui svolge questo esercizio, e praticamente lui crea una matrice dove mette i 3 vettori per colonna e poi aggiunge una base di R4,in particolare quella canonica, ed esegue il procedimento di Gauss e alla fine prende i vettori che hanno il Pivot.
Cosa ne pensate?
In sostanza, se ho capito, si avrebbe una matrice con tre righe e sette colonne su cui applicare l'algoritmo di Gauss; credo che dovrebbe funzionare, ma, forse, a questo punto, il metodo di Gold D Roger richiederebbe qualche conto in meno.
Saluti.
ok grazie mille della spiegazione
Di nulla, figurati.
Saluti.
Saluti.
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