Completamento a base
Salve vorrei un chiarimento riguardo il completamento di una base. Faccio un esempio:
Io ho il vettore $(5, 5, -3, -10)$ e voglio completarlo a $R^4$. Trovo il sottospazio di $R^4$ ortogale al vettore ( o meglio, allo spazio generato dal vettore ) e scelgo una base. In pratica
$(x, y, z, t )*(5, 5, -3, -10)=0$ quindi $5x+5y-3z-10t=0$ esplicitando rispetto a $x$ trovo $x=-y+3/5 z - 2t$. Ora significa che qualsiasi vettore le cui componenti rispettino questa relazione è sicuramente indipendente dal vettore iniziale e quindi può essere preso in considerazione giusto?Oppure sbaglio qualcosa?
Io ho il vettore $(5, 5, -3, -10)$ e voglio completarlo a $R^4$. Trovo il sottospazio di $R^4$ ortogale al vettore ( o meglio, allo spazio generato dal vettore ) e scelgo una base. In pratica
$(x, y, z, t )*(5, 5, -3, -10)=0$ quindi $5x+5y-3z-10t=0$ esplicitando rispetto a $x$ trovo $x=-y+3/5 z - 2t$. Ora significa che qualsiasi vettore le cui componenti rispettino questa relazione è sicuramente indipendente dal vettore iniziale e quindi può essere preso in considerazione giusto?Oppure sbaglio qualcosa?
Risposte
Proprio giusto non è. Che vuol dire spazio ortogonale? Rispetto a qualche prodotto scalare?
Indichiamo con $V$ lo spazio di partenza e $W$ lo spazio ortogonale a $V$. Allora il prodotto scalare tra qualsiasi vettore appartenente a $V$ e qualsiasi vettore appartenente a $W$ è nullo...o sbaglio?
Quello che voglio dirti è che tu parli di prodotto scalare, ma io di prodotti scalari definiti non ne vedo. 
Il completamente ad una base è una nozione totalmente indipendente dal prodotto scalare.
Il completamente ad una base è una nozione totalmente indipendente dal prodotto scalare.
Parlavo di prodotto scalare canonico. Comunque capisco cosa intendi. Io chiedevo: per evitare di scegliere " a caso " tre vettori lineramente indipendenti al primo per completare la base, quale potrebbe essere un procedimento che mi fornisca lo spazio di tutti i vettori che vanno bene? Non so se sono stato chiaro....
Slashino secondo me il tuo metodo va bene... cmq se non vuoi usare il prodotto scalare potresti scrivere la matrice
$ ((5,5,-3,-10),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)) $
Riducila a gradini col metodo di eliminazione di Gauss, le righe che rimangono costituiscono una base di $ R^4 $ (il perchè è ovvio...)
$ ((5,5,-3,-10),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)) $
Riducila a gradini col metodo di eliminazione di Gauss, le righe che rimangono costituiscono una base di $ R^4 $ (il perchè è ovvio...)
il risultato torna, perché se considerassimo il prodotto scalare canonico associato ad $RR^4$...
Ma come l'hai scritto è un esercizio che fa uso di strumenti che non vengono introdotti e volevo solo farti osservare questa cosa.
Anche perché, al di là del prodotto scalare, tu fai una cosa molto semplice: consideri un sottospazio di dimensione $3$ cui il vettore non appartiene. Sicuramente l'ortogonale è uno di questi, ma senza scomodare quest'ultimo, potevi prendere $z=0$. Oppure $y=0$... non era più semplice?
Ma come l'hai scritto è un esercizio che fa uso di strumenti che non vengono introdotti e volevo solo farti osservare questa cosa.
Anche perché, al di là del prodotto scalare, tu fai una cosa molto semplice: consideri un sottospazio di dimensione $3$ cui il vettore non appartiene. Sicuramente l'ortogonale è uno di questi, ma senza scomodare quest'ultimo, potevi prendere $z=0$. Oppure $y=0$... non era più semplice?
Si capisco quello che dite. Però se considero il vettore $(-1,-2,0,1)$ questo è lineramente indipendente dal primo. Quindi è un buon candidato per completare, per esempio, una base di $R^2$. Eppure le sue componenti non soddisfano la relazione che ho trovato per mezzo del prodotto scalare...
$RR^2$ cosa c'entra?
Ma la questione è questa: I vettori per completare una base sono infiniti e sono ben lungi dall'essere solo quelli dello spazio ortogonale.
Quelli ortogonali sono particolari vettori, ma non di certo tutti quelli che puoi utilizzare per completare la tua base ad una di $RR^4$.
Ma la questione è questa: I vettori per completare una base sono infiniti e sono ben lungi dall'essere solo quelli dello spazio ortogonale.
Quelli ortogonali sono particolari vettori, ma non di certo tutti quelli che puoi utilizzare per completare la tua base ad una di $RR^4$.
Giusto! Tutti i vettori dello spazio ortogonale posso essere usati per completare la base ma non sono gli unici!! Grazie, sei stato chiarissimo...
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