Complemento ortogonale?

[bandido]

ciao a tutti.
ho ancora un dubbio

ho tre vettori di $RR$4,
$((1),(0),(1),(0))$, $((1),(1),(0),(1))$ , $((1),(2),(-1),(2))$ ,

devo trovare una base ortonormale di V.
ok, non ci sono problemi.

però poi devo trovare una base ortonormale di V$\bot$ e non so come si fa a trovare V$\bot$...
mi aiutate per favore?

[cirasa]

Immagino che $V$ sia lo spazio generato dai tre vettori che chiamerò $v_1,v_2,v_3$.
Come certamente saprai, $V^\bot$ è l'insieme dei vettori $w=((x),(y),(z),(t))$ tali che $(v,w)=0$ per ogni $v\in V$.
Equivalentemente $w\in V^\bot$ se e solo se
(*) $(v_i,w)=0$ per ogni $i=1,2,3$

Con $(\cdot,\cdot)$ ho indicato il prodotto scalare standard in $RR^4$.

Scrivi esplicitamente le tre condizioni (*) in termini di $x,y,z,t$ e otterrai un sistema lineare omogeneo. L'insieme delle soluzioni sarà lo spazio $V^\bot$ cercato.

[bandido]

ciao cirasa, sei sempre molto gentile

allora imponendo il prodotto scalare zero, ricavo questo sistema
x+z=0
x+y+z=0
x+2y-z+2t=0

risolvendo trovo
x=-r
y=r-s
z=r
t=s

quindi
$((-1),(1),(1),(0))$ r , $((0),(-1),(0),(1))$ s

è questo il complemento ortogonale?

[cirasa]

C'è un errore nella seconda equazione del sistema che dovrebbe essere $x+y+t=0$.
Comunque credo che sia un errore di battitura visto che la soluzione del sistema (nei parametri $r,s$) è giusta.

Mi raccomando poi a come i esprimi:

"bandido":
quindi
$((-1),(1),(1),(0))$ r , $((0),(-1),(0),(1))$ s
è questo il complemento ortogonale?

No, questi sono solo due vettori del complemento ortogonale. Il complemento ortogonale è lo spazio generato da $((-1),(1),(1),(0))$ e $((0),(-1),(0),(1))$.

[bandido]

grazie, ora penso di aver capito....

confermo che era un errore di battitura