Complemento Ortogonale
Salve ragazzi, vi scrivo affinchè riusciate a risolvere il mio problema e dubbio. Ho una traccia d'esame che mi dà:
La traccia di partenza di dice : Si consideri la forma bilineare $ g((x,y,z) (x',y',z'))= 2x x'+xy'+yx'+xz'+zx'+2yy'+yz'+zy'+2zz'$
In particolare non riesco a capire questo punto del problema:
c) Determinare il complemento ortogonale di $U= [(x,y,z) in RR ^3 | 2x+y+z= x+2y+z = 0 ]$
Personalmente ho agito così:
Ho messo a sistema le equazioni di U : ${(2x+y+z=0),(x+2y+z=0):}$ che risolto mi dà un solo vettore $v=(-1,1,1)$
Ora sostituisco questo vettore in $g((x,y,z) (-1,1,1))$ ottenendo $2y+2z$ che messa a sistema e risolta mi dà due vettori $v2 = (1,0,0)$ e $v3=(0,-1,1)$ che dovrebbe essere una Base di U rispetto a g se non sto dicendo una cavolata. Dopo però mi perdo...
Non so se sta bene come procedimento, spero mi aiutiate a comprendere bene questo esercizio perchè ho notato che il mi prof lo mette spesso, quindi vorrei capire come svolgerlo nel caso dovesse uscirmi. Grazie mille in anticipo a chi m aiuterà
La traccia di partenza di dice : Si consideri la forma bilineare $ g((x,y,z) (x',y',z'))= 2x x'+xy'+yx'+xz'+zx'+2yy'+yz'+zy'+2zz'$
In particolare non riesco a capire questo punto del problema:
c) Determinare il complemento ortogonale di $U= [(x,y,z) in RR ^3 | 2x+y+z= x+2y+z = 0 ]$
Personalmente ho agito così:
Ho messo a sistema le equazioni di U : ${(2x+y+z=0),(x+2y+z=0):}$ che risolto mi dà un solo vettore $v=(-1,1,1)$
Ora sostituisco questo vettore in $g((x,y,z) (-1,1,1))$ ottenendo $2y+2z$ che messa a sistema e risolta mi dà due vettori $v2 = (1,0,0)$ e $v3=(0,-1,1)$ che dovrebbe essere una Base di U rispetto a g se non sto dicendo una cavolata. Dopo però mi perdo...
Non so se sta bene come procedimento, spero mi aiutiate a comprendere bene questo esercizio perchè ho notato che il mi prof lo mette spesso, quindi vorrei capire come svolgerlo nel caso dovesse uscirmi. Grazie mille in anticipo a chi m aiuterà
Risposte
Suppongo che prima ti si chieda di dimostrare che $g$ è un prodotto scalare, vero? Bene, a questo punto la richiesta del punto in questione è la seguente: determinare l'insieme
$$U^\bot=\{v\in\mathbb{R}^3\ |\ g(v,u)=0,\ \forall\ u\in U\}$$
L'idea di determinare la base di $U$ è corretta, ma hai sbagliato qualche calcolo. Risolvendo il sistema trovi la soluzione generale $(x,x,-3x)$ che conduce alla base $B=\{(1,1,-3)\}$. Ora, un generico vettore di $U^\bot$ sarà ortogonale a questo vettore di base: pertanto cerchiamo i vettori $(x,y,z)$ tali che
$$0=g((x,y,z),(1,1,-3))=2x+x+y-3x+z+2y-3y+z-6z$$
e quindi $-4z=0$ da cui $z=0$. I vettori sono pertanto quelli della forma $(x,y,0)$ e possiamo scegliere la base di $U^\bot$ seguente
$$B'=\{(1,0,0),\ (0,1,0)\}$$
$$U^\bot=\{v\in\mathbb{R}^3\ |\ g(v,u)=0,\ \forall\ u\in U\}$$
L'idea di determinare la base di $U$ è corretta, ma hai sbagliato qualche calcolo. Risolvendo il sistema trovi la soluzione generale $(x,x,-3x)$ che conduce alla base $B=\{(1,1,-3)\}$. Ora, un generico vettore di $U^\bot$ sarà ortogonale a questo vettore di base: pertanto cerchiamo i vettori $(x,y,z)$ tali che
$$0=g((x,y,z),(1,1,-3))=2x+x+y-3x+z+2y-3y+z-6z$$
e quindi $-4z=0$ da cui $z=0$. I vettori sono pertanto quelli della forma $(x,y,0)$ e possiamo scegliere la base di $U^\bot$ seguente
$$B'=\{(1,0,0),\ (0,1,0)\}$$
Grazie infinite per la rapidità di risposta, davvero.
Si, il primo punto del problema riguardava la dimostrazione che g era un prodotto scalare, l'ho omesso perchè fin lì ero riuscito a risolvere gli es senza problemi. Quindi a parte il sistema diciamo che avevo agito correttamente ma non capivo come andare avanti. Grazie ancora Ciampax Ora mi è chiaro come agire con questi tipi di problemi
Si, il primo punto del problema riguardava la dimostrazione che g era un prodotto scalare, l'ho omesso perchè fin lì ero riuscito a risolvere gli es senza problemi. Quindi a parte il sistema diciamo che avevo agito correttamente ma non capivo come andare avanti. Grazie ancora Ciampax
Ora mi è chiaro come agire con questi tipi di problemi
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