Complementare di un sottospazio
Essendo in panico pieno a causa di vicinissimi esami anche le cose più banali mi stanno diventando complicate...aiutatemi...
Dati due vettori $\v_1=(1,2,1,3)$ e $\v_2=(2,1,1,-1)$ determinare una base di $R^4$che contiene $\v_1$ e $v_2$
quindi ho preso i due vettori li ho messi in forma matriciale li ho ridotti il più possibile e mi sono ricavato la base $\B={(1,2,1,3),(0,-3,-1,-7)}$, (che poi si può trovare una base anche con un sistema lineare che se qualcuno mi spiega come impostare ne sarei grato)
poi come da titolo mi chiede di trovare un complementare del sottospazio $\U$ di $R^4$ generato da $\v_1$ e $\v_2$ giustificando la scelta.
Ho preso due vettori linearmente indipendenti tra loro e linearmente indipendenti con quelli della base di $\U$ quindi credo di aver preso due generatori nonchè basi dell'insieme complementare che mi chiedeva, spiegando ovviamente che la loro intersezione è solo il vettore nullo perchè i vettori sono tutti lin ind ecc....
fatto tutto bene? Ci sono imprecisioni formali o qualsivoglia tipo di errore o incomprensione? qualcuno può elencarmi i metodi per trovarmi una base di un insieme di vettori come il primo di questa pagina?
grazie infinite
Dati due vettori $\v_1=(1,2,1,3)$ e $\v_2=(2,1,1,-1)$ determinare una base di $R^4$che contiene $\v_1$ e $v_2$
quindi ho preso i due vettori li ho messi in forma matriciale li ho ridotti il più possibile e mi sono ricavato la base $\B={(1,2,1,3),(0,-3,-1,-7)}$, (che poi si può trovare una base anche con un sistema lineare che se qualcuno mi spiega come impostare ne sarei grato)
poi come da titolo mi chiede di trovare un complementare del sottospazio $\U$ di $R^4$ generato da $\v_1$ e $\v_2$ giustificando la scelta.
Ho preso due vettori linearmente indipendenti tra loro e linearmente indipendenti con quelli della base di $\U$ quindi credo di aver preso due generatori nonchè basi dell'insieme complementare che mi chiedeva, spiegando ovviamente che la loro intersezione è solo il vettore nullo perchè i vettori sono tutti lin ind ecc....
fatto tutto bene? Ci sono imprecisioni formali o qualsivoglia tipo di errore o incomprensione? qualcuno può elencarmi i metodi per trovarmi una base di un insieme di vettori come il primo di questa pagina?
grazie infinite
Risposte
Beh, ma la base $B$ che hai scelto tu non è una base di $RR^4$ visto come spazio vettoriale reale (contiene solo due vettori e ogni base di $RR^4$ ne ha $4$), nè contiene entrambi i vettori $v_1$ e $v_2$ (contiene solo $v_1$). Quindi non credo che vada bene.
Per risolvere questo esercizio, il mio consiglio sarebbe questo: parti dai tuoi due vettori linearmente indipendenti $v_1$, $v_2$ e poi aggiungi uno alla volta i vettori della base canonica di $RR^4$ scartando quelli che sono linermente dipendenti dai precedenti.
Esempio: hai $v_1$ e $v_2$. Prendo $e_1$ il primo vettore della base canonica. Se $v_1, v_2, e_1$ sono indipendenti, lo tieni, altrimenti lo scarti. Poi prendi $e_2$ il secondo vettore della base canonica. Se è linearm indipendente con i precedenti, lo tieni, altrimenti lo scarti. E così via, fino a quando non arrivi a quattro vettori (che è la dimensione di $RR^4$). Ottieni così una base di $RR^4$ che contiene $v_1$ e $v_2$.
Per quanto riguarda il secondo esercizio, cioè trovare il complementare di $U$, penso sia ok.
Per risolvere questo esercizio, il mio consiglio sarebbe questo: parti dai tuoi due vettori linearmente indipendenti $v_1$, $v_2$ e poi aggiungi uno alla volta i vettori della base canonica di $RR^4$ scartando quelli che sono linermente dipendenti dai precedenti.
Esempio: hai $v_1$ e $v_2$. Prendo $e_1$ il primo vettore della base canonica. Se $v_1, v_2, e_1$ sono indipendenti, lo tieni, altrimenti lo scarti. Poi prendi $e_2$ il secondo vettore della base canonica. Se è linearm indipendente con i precedenti, lo tieni, altrimenti lo scarti. E così via, fino a quando non arrivi a quattro vettori (che è la dimensione di $RR^4$). Ottieni così una base di $RR^4$ che contiene $v_1$ e $v_2$.
Per quanto riguarda il secondo esercizio, cioè trovare il complementare di $U$, penso sia ok.
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