Complementare di un semplicemente connesso
Ciao a tutti, avevo il seguente problema, è abbastanza intuitivo e scontato il fatto che $K$ è un compatto di $\mathbb{C}$ allora:
$K$ è semplicemente connesso se e solo se $\mathbb{C} \setminus K$ è connesso.
Non ho idea però di come si possa riuscire a dimostrarlo se qualcuno di voi riesce ad aiutarmi... grazie
$K$ è semplicemente connesso se e solo se $\mathbb{C} \setminus K$ è connesso.
Non ho idea però di come si possa riuscire a dimostrarlo se qualcuno di voi riesce ad aiutarmi... grazie
Risposte
Qui ne parlammo con Gugo e AdaBTTLS tampo fa (caspita! quasi due anni! 
). Purtroppo non ci sono idee per una dimostrazione...
). Purtroppo non ci sono idee per una dimostrazione...
Mi è venuta un'idea per la dimostrazione di un'implicazione, precisamente l'implicazione $K"non semplicemente connesso"\RightarrowCC\setminus K"non connesso"$.
Però bisogna completare i dettagli. Spero che non ci siano troppe difficoltà techinche.
Si usa il seguente lemma:
Sia $S$ uno spazio topologico e $A\subset S$. Allora sono equivalenti:
a) $A$ è connesso;
b) Per ogni $x,y\in A$ esiste $X\subset A$ con $X$ connesso tale che $x,y\in X$.
L'idea è questa.
Se $K$ non è semplicemente connesso, esiste un laccio $\gamma$ contenuto in $K$ che non è omotopicamente equivalente al laccio costante.
Il suo supporto divide il piano $RR^2=CC$ in due parti: un "dentro" $D$ e un "fuori" $F$ e, ovviamente il "fuori" non è limitato.
Inoltre, esiste un punto $x$ in $D$ che non appartiene a $K$ (perchè $gamma$ non può essere deformata al laccio nullo). Prendo inoltre un elemento in $F$ che non appartiene a $K$ (esiste perchè $K$ è limitato, mentre $F$ non lo è)
Per provare che $CC\setminus K$ non è connesso, si può provare che non esiste un connesso $X\subset CC\setminus K$ tale che $x,y\in X$.
Infatti, se esistesse un connesso $X$ siffatto, esso sarebbe connesso per poligonali e, in particolare, esisterebbe una curva da $x$ a $y$ con supporto contenuto in $CC\setminus K$.
Questa curva deve collegare $x$ che è "interno" a $gamma$ con $y$ che è "esterno", quindi interseca $gamma$ in un punto $z$ di $gamma$. Ma il supporto di $gamma$ è contenuto in $K$ e quindi $z\in K$. Ma ciò contraddice il fatto che la poligonale ha supporto in $CC\setminus K$.
Tutto giusto?
Per l'altra implicazione non mi vengono idee, nè ho riferimenti bibliografici...
Però bisogna completare i dettagli. Spero che non ci siano troppe difficoltà techinche.
Si usa il seguente lemma:
Sia $S$ uno spazio topologico e $A\subset S$. Allora sono equivalenti:
a) $A$ è connesso;
b) Per ogni $x,y\in A$ esiste $X\subset A$ con $X$ connesso tale che $x,y\in X$.
L'idea è questa.
Se $K$ non è semplicemente connesso, esiste un laccio $\gamma$ contenuto in $K$ che non è omotopicamente equivalente al laccio costante.
Il suo supporto divide il piano $RR^2=CC$ in due parti: un "dentro" $D$ e un "fuori" $F$ e, ovviamente il "fuori" non è limitato.
Inoltre, esiste un punto $x$ in $D$ che non appartiene a $K$ (perchè $gamma$ non può essere deformata al laccio nullo). Prendo inoltre un elemento in $F$ che non appartiene a $K$ (esiste perchè $K$ è limitato, mentre $F$ non lo è)
Per provare che $CC\setminus K$ non è connesso, si può provare che non esiste un connesso $X\subset CC\setminus K$ tale che $x,y\in X$.
Infatti, se esistesse un connesso $X$ siffatto, esso sarebbe connesso per poligonali e, in particolare, esisterebbe una curva da $x$ a $y$ con supporto contenuto in $CC\setminus K$.
Questa curva deve collegare $x$ che è "interno" a $gamma$ con $y$ che è "esterno", quindi interseca $gamma$ in un punto $z$ di $gamma$. Ma il supporto di $gamma$ è contenuto in $K$ e quindi $z\in K$. Ma ciò contraddice il fatto che la poligonale ha supporto in $CC\setminus K$.
Tutto giusto?
Per l'altra implicazione non mi vengono idee, nè ho riferimenti bibliografici...
Apro una parentesi per correggere un errore pregresso: l'equivalenze giusta è:
[tex]$K \text{ semplicemente connesso} \Leftrightarrow \widehat{\mathbb{C}} \setminus K \text{ connesso}$[/tex],
ove [tex]$\widehat{\mathbb{C}}$[/tex] è il piano complesso ampliato (cioè la compattificazione di Alexandroff standard [tex]$\widehat{\mathbb{C}} =\mathbb{C} \cup \{ \infty\}$[/tex] con la sua topologia naturale).
Infatti se [tex]$K=\{ z\in \mathbb{C}:\ |\text{Im} z|<1\}$[/tex], allora [tex]$K$[/tex] è semplicemente connesso epperò il suo complementare in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] non lo è (in quanto costituito dall'unione disgiunta di due semipiani); però se riguardiamo il tutto in [tex]$\widehat{\mathbb{C}}$[/tex], ossia sulla sfera di Riemann, il complementare di [tex]$K$[/tex] è effettivamente connesso (costituito dalla sfera privata dello "spicchio" [tex]$K$[/tex]).
[tex]$K \text{ semplicemente connesso} \Leftrightarrow \widehat{\mathbb{C}} \setminus K \text{ connesso}$[/tex],
ove [tex]$\widehat{\mathbb{C}}$[/tex] è il piano complesso ampliato (cioè la compattificazione di Alexandroff standard [tex]$\widehat{\mathbb{C}} =\mathbb{C} \cup \{ \infty\}$[/tex] con la sua topologia naturale).
Infatti se [tex]$K=\{ z\in \mathbb{C}:\ |\text{Im} z|<1\}$[/tex], allora [tex]$K$[/tex] è semplicemente connesso epperò il suo complementare in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] non lo è (in quanto costituito dall'unione disgiunta di due semipiani); però se riguardiamo il tutto in [tex]$\widehat{\mathbb{C}}$[/tex], ossia sulla sfera di Riemann, il complementare di [tex]$K$[/tex] è effettivamente connesso (costituito dalla sfera privata dello "spicchio" [tex]$K$[/tex]).
"gugo82":
Apro una parentesi per correggere un errore pregresso: l'equivalenze giusta è:
[tex]$K \text{ semplicemente connesso} \Leftrightarrow \widehat{\mathbb{C}} \setminus K \text{ connesso}$[/tex],
ove [tex]$\widehat{\mathbb{C}}$[/tex] è il piano complesso ampliato (cioè la compattificazione di Alexandroff standard [tex]$\widehat{\mathbb{C}} =\mathbb{C} \cup \{ \infty\}$[/tex] con la sua topologia naturale).
D'accordo nel caso in cui $K$ sia un sottospazio (topologico) generico di $CC$.
Ma "bernardo" aveva supposto anche che $K$ fosse compatto. Quindi l'equivalenza da lui scritta era corretta.
Edit: E ci aggiungerei anche l'ipotesi $K$ connesso.
A scanso di equivoci, per me uno spazio topologico si dice semplicemente connesso se è connesso per archi e se il primo gruppo fondamentale è banale.
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