Compatti di $RR$
E' vero che ogni sottoinsieme compatto di $RR$ è unione finita di intervalli chiusi e limitati?
Falso, ad esempio $(uu_{ninNN}{1/n})uu{0}$ è un compatto di $RR$ ma si scrive come unione infinita di intervalli chiusi e limitati (ovvero ${1/n}$ e poi ${0}$)
Falso, ad esempio $(uu_{ninNN}{1/n})uu{0}$ è un compatto di $RR$ ma si scrive come unione infinita di intervalli chiusi e limitati (ovvero ${1/n}$ e poi ${0}$)
Risposte
Va anche bene quello che ho scritto io?
Sì, e ho scritto lo stesso esempio in quel post! 
"j18eos":
Sì, e ho scritto lo stesso esempio in quel post!
Ah scusami non avevo letto tutto, grazie
Prego, di nulla!
Vorrei solo sottolineare che l'insieme di Cantor è compatto (in \(\mathbb{R}\) rispetto alla topologia naturale) e non contiene intervalli!
Vorrei solo sottolineare che l'insieme di Cantor è compatto (in \(\mathbb{R}\) rispetto alla topologia naturale) e non contiene intervalli!
"andreadel1988":E' strano dire così, perché quello che devi mostrare non è che quella è un'unione infinita di intervalli chiusi, devi argomentare (ma è ovvio) che NON è unione finita di intervalli chiusi. Poi c'è un'ambiguità su cosa si intenda su intervallo chiuso, mi sembra di capire che tu consideri i punti come intervalli chiusi (degeneri).
si scrive come unione infinita di intervalli chiusi e limitati
Poi continuo a vedere fraintendimenti tra voi due,
"j18eos":Sì ok è vero, ma anche l'insieme proposto dall'OP è compatto e non contiene intervalli. Qualsiasi sottoinsieme finito di $RR$ è compatto e non contiene intervalli.
Vorrei solo sottolineare che l'insieme di Cantor è compatto (in $RR$ rispetto alla topologia naturale) e non contiene intervalli!
"Martino":
E' strano dire così, perché quello che devi mostrare non è che quella è un'unione infinita di intervalli chiusi, devi argomentare (ma è ovvio) che NON è unione finita di intervalli chiusi. Poi c'è un'ambiguità su cosa si intenda su intervallo chiuso, mi sembra di capire che tu consideri i punti come intervalli chiusi (degeneri).
Sì ok è vero, ma anche l'insieme proposto dall'OP è compatto e non contiene intervalli. Qualsiasi sottoinsieme finito di $RR$ è compatto e non contiene intervalli.
Vabbe è un unione fatta sull'insieme dei numeri naturali che sono infiniti, quindi non può essere finita, non saprei dirlo in altro modo. Comunque si considero gli intervalli degeneri come chiusi perchè effettivamente ${a}=[a,a]$. Inoltre chi è OP?
Scusa ma l'unione degli insiemi ${a}$ con $a in [0,1]$ è uguale a $[0,1]$ e quindi è un'unione infinita di intervalli chiusi e limitati e tuttavia è anche uguale a un'unione finita di intervalli chiusi e limitati, essendo esso stesso un intervallo chiuso e limitato.
Dire che un'insieme è un'unione infinita di insiemi di un certo tipo non implica che non sia un'unione finita di insiemi di quello stesso tipo.
OP significa Original Poster, cioè l'utente che ha postato all'inizio del filone, cioè in questo caso tu.
Dire che un'insieme è un'unione infinita di insiemi di un certo tipo non implica che non sia un'unione finita di insiemi di quello stesso tipo.
OP significa Original Poster, cioè l'utente che ha postato all'inizio del filone, cioè in questo caso tu.
"Martino":
Scusa ma l'unione degli insiemi ${a}$ con $a in [0,1]$ è uguale a $[0,1]$ e quindi è un'unione infinita di intervalli chiusi e limitati e tuttavia è anche uguale a un'unione finita di intervalli chiusi e limitati, essendo esso stesso un intervallo chiuso e limitato.
Vabbe come hai detto tu $ (uu_{ninNN}{1/n})uu{0} $ non contiene intervalli se non quelli degeneri.
...e ci risiamo: non ho letto bene l'esempio di Andrea! Chiedo venia...
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