Compattezza successione

[DavideGenova1]

Ciao, ragazzi! Avendo un'immersione iniettiva (fornisco tutti i dati che ho nel caso servissero) $f:X\to Y$ tra le varietà differenziabili $X$ e $Y$ (quindi soddisfacenti il secondo assioma di numerabilità e di Hausdorff) che è anche un'applicazione propria (cioè tale che per ogni sottoinsieme compatto $K\subset Y$ la controimmagine \(f^{-1}(K)\) è compatta), si suppone per assurdo che se $U\subset X$ è un aperto \(f(U)\) sia non aperto in \(f(X)\) -cosa che si dimostrerà falsa-; "allora" dice il mio libro, il Sernesi, Geometria II, p. 216, "esiste una successione \(\{y_i\}_{i\geq 1}\) di punti di \(f(X)\setminus f(U)\) che converge ad un punto \(y\in f(U)\)" e "\(\{y\}\cup\{y_i:i=1,2,...\}\) è compatto".
Non riesco a farmi una ragione del perché \(\{y\}\cup\{y_i:i=1,2,...\}\) sia compatto...
Qualcuno mi darebbe una mano?
\(\{\text{grazie}_i:i=1,2,...\}\) a tutti!!!

[s.stuv]

Beh... tu hai che per ogni intorno aperto \( J \) di \( y \) esiste \( \bar{n} \) tale che \( y_n \) sta in \( J \) per tutti gli \( n > \bar{n} \). Allora l'idea è che se prendi un qualunque ricoprimento aperto di quell'insieme, potrai sempre estrarre un sottoricoprimento finito: basta che questo sottoricoprimento sia fatto da un \( J \) che contiene \( y \) e tutti i termini della successione da \( \bar{n} \) in poi più un altro po' di aperti (in numero finito) che contengono i primi \( \bar{n} \) termini della successione. Ti convince?

[DavideGenova1]

"s.stuv":per ogni intorno aperto \( J \) di \( y \) esiste \( \bar{n} \) tale che \( y_n \) sta in \( J \) per tutti gli \( n > \bar{n} \).

Sì, per la definizione di limite.
Quindi mi pare di capire che ogni successione considerata in un insieme con il proprio limite \(\{x_i\}_{i\geq 1}\cup\{\lim_n x_i\}\) sia un compatto... giusto?
Grazie di cuore ancora!!!

[s.stuv]

"DavideGenova":
Quindi mi pare di capire che ogni successione considerata in un insieme con il proprio limite \(\{x_i\}_{i\geq 1}\cup\{\lim_n x_i\}\) sia un compatto... giusto?

Sì, esatto... ovviamente se sostituisci alla parola "insieme" la parola "spazio topologico"!

[DavideGenova1]

\(\infty\) grazie!!!!