Compattezza del gruppo ortogonale
Ciao. Come posso dimostrare che il gruppo ortogonale O(n) è compatto?
Risposte
"giaco1975":
Ciao. Come posso dimostrare che il gruppo ortogonale O(n) è compatto?
Ciao. Se non specifichi la topologia è un po' difficile rispondere.
Considerarlo come Gruppo di Lie è sufficiente per specificare la topologia?
Ad occhio direi che sfruttando la proprietà che caratterizza il gruppo, ovvero $MM^T=1$, puoi far vedere che gli elementi di matrice dei generatori del gruppo contengono solo funzioni trigonometriche, quindi dal momento che i loro parametri variano in $[0,2\pi]$ hai la compattezza del gruppo.
Detto questo lascio la parola a qualche matematico vero.
Detto questo lascio la parola a qualche matematico vero.
dunque sia $A=(a_{ij})\in O(n)$ cioè $A^{t}A=I$ segue che
$\sum_{h}a_{hi}a_{hj}=\delta_{ij}$ per $1\leq i,j\leq n$.
in particolare
$\sum_{h}a_{hi}^2=1$ per $i=1,...,n$
cioè
$\sum_{h}a_{hi}^2=n$.
quindi $O(n)$ si identifica ad un sottinsieme chiuso di $\mathbb{R}^{n^2}$ contenuto nel disco chiuso di centro l'origine e raggio $\sqrt{n}$. pertanto $O(n)$ è chiuso e limitato cioè compatto.
ciao ciao
$\sum_{h}a_{hi}a_{hj}=\delta_{ij}$ per $1\leq i,j\leq n$.
in particolare
$\sum_{h}a_{hi}^2=1$ per $i=1,...,n$
cioè
$\sum_{h}a_{hi}^2=n$.
quindi $O(n)$ si identifica ad un sottinsieme chiuso di $\mathbb{R}^{n^2}$ contenuto nel disco chiuso di centro l'origine e raggio $\sqrt{n}$. pertanto $O(n)$ è chiuso e limitato cioè compatto.
ciao ciao
Forse il modo più semplice e naturale di vedere che $O(n)$ è limitato è di usare il fatto che
se $A\in O(n)$ allora per ogni $x$
$||Ax||^2== = ||x||^2$
da cui $||A||=1$ ($||A||=$ norma dell'operatore lineare associato ad $A$).
Per la compattezza poi si ragiona come gia' detto.
se $A\in O(n)$ allora per ogni $x$
$||Ax||^2=
da cui $||A||=1$ ($||A||=$ norma dell'operatore lineare associato ad $A$).
Per la compattezza poi si ragiona come gia' detto.
Sfrutto un po' dell'Analisi Funzionale che ho studiato...
Ogni matrice, quindi anche ogni matrice ortogonale, si identifica con un operatore lineare continuo di $RR^n$ in sé (immagino di aver fissato la base canonica $B={e_1,\ldots , e_n}$, così non ci sono problemi e l'identificazione matrice-operatore è univoca).
Lo spazio di tali operatori, diciamolo $L(n)$, si può dotare di una struttura vettoriale e di una norma in un modo canonico ponendo:
$AA A in L(n), quad ||A||="sup"_(x in RR^n-{0}) (||Ax||)/(||x||)$
e lo spazio vettoriale normato così ottenuto è $||\cdot||$-completo, ossia è uno spazio di Banach.
Lo spazio $L(n)$ è finito dimensionale: infatti è facile provare che una sua base si può costruire con gli operatori $A_(i,j)$ tali che:
$AA i,j in {1,\ldots ,n}, quad Ae_j=e_i$,
quindi si ha $dimL(n)=n^2$.
Visto che $L(n)$ è finito dimensionale, vale il Teorema di Heine-Borel che stabilisce l'equivalenza tra compattezza e chiusura e limitatezza di un sottoinsieme: pertanto per provare che $O(n)$ è compatto basta provare che esso (o più precisamente la sua immagine) è chiuso in $L(n)$ e limitato in norma.
Ricordo la nozione di operatore aggiunto: fissato $A in L(n)$ si chiama operatore aggiunto di $A$ l'operatore $A^**$ rappresentato dalla matrice trasposta di $A$. Si prova facilmente che la funzione $**: L(n) to L(n)$ è lineare, continua e che conserva la norma (nel senso che $||A^**||=||A||$); inoltre $A$ appartiene a $O(n)$ se e solo se $A A^**=I=A^**A$.
Come ha fatto notare VGE, si ha per ogni $Ain O(n)$:
$AAx in RR^n, quad ||Ax||= = = = ||x|| quad hArr quad AA x in RR^n, quad (||Ax||)/(||x||)=1$
e quindi $||A||=1$ in $L(n)$. Ciò implica che $O(n)$ è limitato in norma.
Per la chiusura basta sfruttare le proprietà di $**$: infatti se $(A_k)$ è una successione convergente ad $A$ in $||\cdot||$ allora anche $(A_k^**)$ converge in norma ed ha limite $A^**$; pertanto si ha:
$AA x in RR^n,quad \{(A_kA_k^**x=x=Ix),(lim_(k) A_kA_k^**x=A A^**x):} quad hArr quad I=A A^**$
ed allo stesso modo $I=A^**A$, perciò $A in O(n)$. Ne viene che $O(n)$ è chiuso perchè contiene tutti i suoi p.d.a..
Il teorema di Heine-Borel ti consente di dire che $O(n)$ è compatto in $L(n)$.
Il fatto che $L(n)$ è finito dimensionale ti consente pure di affermare che la compattezza di $O(n)$ non dipende dalla norma scelta (infatti tutte le norme su uno sp. vett. finito dimensionale inducono la stessa topologia!).
Ora ovviamente le cose cambiano se la topologia che metti su $O(n)$ non è indotta da nessuna norma...
Ogni matrice, quindi anche ogni matrice ortogonale, si identifica con un operatore lineare continuo di $RR^n$ in sé (immagino di aver fissato la base canonica $B={e_1,\ldots , e_n}$, così non ci sono problemi e l'identificazione matrice-operatore è univoca).
Lo spazio di tali operatori, diciamolo $L(n)$, si può dotare di una struttura vettoriale e di una norma in un modo canonico ponendo:
$AA A in L(n), quad ||A||="sup"_(x in RR^n-{0}) (||Ax||)/(||x||)$
e lo spazio vettoriale normato così ottenuto è $||\cdot||$-completo, ossia è uno spazio di Banach.
Lo spazio $L(n)$ è finito dimensionale: infatti è facile provare che una sua base si può costruire con gli operatori $A_(i,j)$ tali che:
$AA i,j in {1,\ldots ,n}, quad Ae_j=e_i$,
quindi si ha $dimL(n)=n^2$.
Visto che $L(n)$ è finito dimensionale, vale il Teorema di Heine-Borel che stabilisce l'equivalenza tra compattezza e chiusura e limitatezza di un sottoinsieme: pertanto per provare che $O(n)$ è compatto basta provare che esso (o più precisamente la sua immagine) è chiuso in $L(n)$ e limitato in norma.
Ricordo la nozione di operatore aggiunto: fissato $A in L(n)$ si chiama operatore aggiunto di $A$ l'operatore $A^**$ rappresentato dalla matrice trasposta di $A$. Si prova facilmente che la funzione $**: L(n) to L(n)$ è lineare, continua e che conserva la norma (nel senso che $||A^**||=||A||$); inoltre $A$ appartiene a $O(n)$ se e solo se $A A^**=I=A^**A$.
Come ha fatto notare VGE, si ha per ogni $Ain O(n)$:
$AAx in RR^n, quad ||Ax||=
e quindi $||A||=1$ in $L(n)$. Ciò implica che $O(n)$ è limitato in norma.
Per la chiusura basta sfruttare le proprietà di $**$: infatti se $(A_k)$ è una successione convergente ad $A$ in $||\cdot||$ allora anche $(A_k^**)$ converge in norma ed ha limite $A^**$; pertanto si ha:
$AA x in RR^n,quad \{(A_kA_k^**x=x=Ix),(lim_(k) A_kA_k^**x=A A^**x):} quad hArr quad I=A A^**$
ed allo stesso modo $I=A^**A$, perciò $A in O(n)$. Ne viene che $O(n)$ è chiuso perchè contiene tutti i suoi p.d.a..
Il teorema di Heine-Borel ti consente di dire che $O(n)$ è compatto in $L(n)$.
Il fatto che $L(n)$ è finito dimensionale ti consente pure di affermare che la compattezza di $O(n)$ non dipende dalla norma scelta (infatti tutte le norme su uno sp. vett. finito dimensionale inducono la stessa topologia!).
Ora ovviamente le cose cambiano se la topologia che metti su $O(n)$ non è indotta da nessuna norma...
Grazie a tutti per le risposte e i contributi, a presto.
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