Compattezza degli operatori di Hilbert-Schmidt

[onailativ]

Ciao a tutti.. ho un problema.
Devo dimostrare che gli operatori di Hilbert-Schmidt da $L^{2}([0,1])$ in $L^{2}([0,1])$ sono compatti.

In altre parole, data $k:L^{2}([0,1]x[0,1])$ e $T_{k}:L^{2}([0,1])\rightarrow L^{2}([0,1])$ definita da
$(T_{k}f)(t)=\int_{0}^{1}k(t,s)f(s)ds$

vorrei mostrare che $T_{k}$ porta ogni insieme limitato di $L^{2}$ in un precompatto di $L^2$.


Si dimostra facilmente che $T_{k}$ è lineare, continuo e che la sua norma è limitata dalla norma di $k$.
Per dimostrare la compattezza ho preso una successione $f_{n}$ in $L^{2}$ debolmente convergente ad una certa
$f$ e ho cercato di mostrare che $T_{k}f_{n}$ converge a $T_{k}f$ in norma $L^{2}$ (c'è un teorema che poi mi garantisce la compattezza).

Dalla caratterizzazione del duale di $L^{2}$ sono però riuscito a mostrare solo la convergenza puntuale q.o., ma non quella in norma... qualcuno sa come si fa???
Grazie, Vito

[Luca.Lussardi]

Io non seguirei quella strada ma un'altra: prova a ragionare prima sui nuclei $k$ della forma $k(t,s)=f(s)g(t)$, qui è facile verificare che hai la compattezza. Poi ragiona per densità dei polinomi trigonometrici in $L^2(Q)$, essendo $Q=[0,1]^2$.