Commutatore

[***1117]

Salve ragazzi

Stavo studiando Analisi Funzionale e mi sono imbattuto nel commutatore .

Vi è un teorema che afferma :

Siano $A$ e $B$ due operatori autoaggiunti , $AB$ è autoaggiunto se e solo se $[ A , B ] = 0 = AB-BA $

Mi chiedo , manualmente come si svolge il calcolo $ AB-BA $ ?

[killing_buddha]

Dipende; se lo spazio dove sono definiti (devono essere endomorfismi, affinche' la definizione abbia senso) e' di dimensione finita sono sostanzialmente delle matrici. Scegli delle basi, e fai il prodotto di matrici.

Se gli spazi sono piu' generali, dipende; non c'e' una regola meno generale di quella per comporre operatori e per sommarli.

[***1117]

Grazie della risposta

Sono nello spazio di HIlbert .

[killing_buddha]

Non ce n'e' solo uno a volte le sole relazioni che rendono un'algebra di Lie lo spazio vettoriale dove lavori indicano come calcolare alcune relazioni importanti tra elementi dell'algebra. Un esempio lampante e' con "posizione" e "momento", che sono forzate ad avere per commutatore un multiplo scalare dell'identita'; questo multiplo (un suo riscalamento) e' la "costante di Planck".

[***1117]

Non conoscevo quell'esempio ! Fantastico

[redlex91-votailprof]

Noi fisici, quando dobbiamo calcolare un commutatore del tipo che ti ha detto killing, lo facciamo agire su una funzione di prova; nello specifico, indicando gli operatori con le lettere maiuscole:
\[
X:=x,\quad P_x:=\frac{\hslash}{i}\partial_x
\]
allora presa \(\phi\in L^2(\mathbb{R})\) funzione di prova
\[
[X,P_x]\phi=\frac{\hslash}{i}\left\lbrace x\partial_x\phi-\partial_x(x\phi)\right\rbrace=i\hslash\phi,\quad \forall\phi
\]
da cui
\[
[X,P_x]=i\hslash,\quad \text{(CCR)}
\]
la relazione sopra è detta canonical commutation rule ed è di fondamentale importanza in Meccanica Quantistica.

[***1117]

Non conosco tale formula , dato che non ho ancora seguito il corso di Meccanica Quantistica.Implementerò la definizione di commutatore con l'esempio da te spiegato .

Grazie mille per l'aiuto