Come trovo equazioni di rette e piani paralleli e non?
salve a tutti...ho problemi con rette e piani che si intersecano e non. Non so quale sia
la condizione per la quale rette e piani sono paralleli oppure ortogonali...per due rette
lo so come si fa a vedere se sono parallele, sghembe o se si intersecano ma a parte questo
nulla più..vi porto due esempi così, i più gentili e quindi i "meglio" di voi, potranno
aiutarmi
1) come faccio a definire le equazioni (cartesiane e parametriche) di una retta che passa
per un punto P (-2, 3, -3) e interseca la retta r: {x=-2y ; z=-1 e la retta s: {x=-y; z=1?
2) In R3 determina l'equazione del piano che passa per i punti P=(1,2,3) e Q=(0,2,1) e
parallelo al vettore v=i+2j-k
grazie in anticipo
la condizione per la quale rette e piani sono paralleli oppure ortogonali...per due rette
lo so come si fa a vedere se sono parallele, sghembe o se si intersecano ma a parte questo
nulla più..vi porto due esempi così, i più gentili e quindi i "meglio" di voi, potranno
aiutarmi
1) come faccio a definire le equazioni (cartesiane e parametriche) di una retta che passa
per un punto P (-2, 3, -3) e interseca la retta r: {x=-2y ; z=-1 e la retta s: {x=-y; z=1?
2) In R3 determina l'equazione del piano che passa per i punti P=(1,2,3) e Q=(0,2,1) e
parallelo al vettore v=i+2j-k
grazie in anticipo
Risposte
1°
La retta richiesta e' semplicemente l'intersezione dei piani rP ed sP.
Per avere questi due piani e' preferibile ricorrere al metodo dei fasci.
La retta r appartiene al fascio di piani di equazione:
$lambda(x+2y)+mu(z+1)=0$
Imponendo il passaggio per P si ha:$mu=2lambda$ e quindi il piano rP e':
(1) rP:$x+2y+2z+2=0$
Analogamente la retta s appartiene al fascio:
$lambda(x+y)+mu(z-1)=0$ ed imponendo il pass. per P si ottiene:
$lambda=4mu$ e dunque il piano sP e':
(2) sP: $4x+4y+z-1=0$
Mettendo insieme (1) e (2) si ha l'equazione della retta cercata:
$((x+2y+2z+2=0),(4x+4y+z-1=0))$
Da qui ,volendo si possono ricavare le equazioni cartesiane o parametriche della retta.
2°
Le equazioni cartesiane della retta PQ sono:
$((2x-z+1=0),(y-2=0))$ ed essa appartiene al fascio di piani:
$lambda(2x-z+1)+mu(y-2)=0$ ovvero
(1) $2lambdax+muy-lambdaz+(lambda-2mu)=0$
Fra i piani di questo fascio dobbiamo cercare quello parallelo al vettore dato.
Deve essere quindi:
$2lambda*1+mu*2-lambda* (-1)=0$ da cui $3lambda+2mu=0$
Ricavando $lambda=-2/3mu$ e sostituendo nella (1) si ha il piano richiesto:
$4x-3y-2z+8=0$
karl
La retta richiesta e' semplicemente l'intersezione dei piani rP ed sP.
Per avere questi due piani e' preferibile ricorrere al metodo dei fasci.
La retta r appartiene al fascio di piani di equazione:
$lambda(x+2y)+mu(z+1)=0$
Imponendo il passaggio per P si ha:$mu=2lambda$ e quindi il piano rP e':
(1) rP:$x+2y+2z+2=0$
Analogamente la retta s appartiene al fascio:
$lambda(x+y)+mu(z-1)=0$ ed imponendo il pass. per P si ottiene:
$lambda=4mu$ e dunque il piano sP e':
(2) sP: $4x+4y+z-1=0$
Mettendo insieme (1) e (2) si ha l'equazione della retta cercata:
$((x+2y+2z+2=0),(4x+4y+z-1=0))$
Da qui ,volendo si possono ricavare le equazioni cartesiane o parametriche della retta.
2°
Le equazioni cartesiane della retta PQ sono:
$((2x-z+1=0),(y-2=0))$ ed essa appartiene al fascio di piani:
$lambda(2x-z+1)+mu(y-2)=0$ ovvero
(1) $2lambdax+muy-lambdaz+(lambda-2mu)=0$
Fra i piani di questo fascio dobbiamo cercare quello parallelo al vettore dato.
Deve essere quindi:
$2lambda*1+mu*2-lambda* (-1)=0$ da cui $3lambda+2mu=0$
Ricavando $lambda=-2/3mu$ e sostituendo nella (1) si ha il piano richiesto:
$4x-3y-2z+8=0$
karl
Karl! Tu non sei una persona ma un dio...grazie...sta storia dei fasci dei piani è una manna!! grazie ancora
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