Come trovare le soluzioni basiche in questo sistema

[ste868686]

$ x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7 $
$ 2x1 + x2 + x3 + 2x4 = 3 $

come trovo le soluzione basiche qui? qual 'è il metodo risolutivo?

[egregio]

Cosa vuol dire soluzioni basiche, forse intendi trovare una base dello spazio vettoriale soddisfacente alle equazioni?: in tal caso è molto semplice, visto che suppongo ti trovi in uno spazio vettoriale di dimensione 4, lo deduco dal pedice più alto delle incognite (ma potresti benissimo essere in dimensione 5 anche se la quinta incognita non compare,6,7,8,...., di solito la traccia specifica l'ambiente), e visto che hai due equazioni, il sottospazio generato dalla base del tuo sottospazio avrà dimensione due (4-2) e quindi essa sarà formata da due vettori linermanete indipendenti. Tali vettori si ottengo come soluzione del sistema lineare.

[ste868686]

bah, non so qua quando riporto le cose che stanno scritte sul mio libro sembra che sono cose che non esistono.

Allora se mettiamo il sistema in forma canonica, si possono ricavare particolari soluzioni dette soluzioni basiche. Il numero di soluzioni basiche coincide con il numero dei minori diversi da 0.

Per farti un esempio di cos'è una soluzione basica, in un sitema a 3 incognite una soluzione potrebbe essere cosi scritta: X=(2 1 0)

[egregio]

allora credo che intenda proprio quello che ti ho scritto. Se riesci a trovare le soluzioni che lui chiama "basiche", riesci a trovare tutte le altre come combinazione lineare delle soluzioni basiche.

scrivi la matrice associata al tuo sistema di riferimento e riducila in forma a scalini, i due vettori non nulli che ottieni sono una soluzione basica del tuo sistema.

Prova e fammi sapere.

Per quanto riguarda il tuo esempio, la soluzione basica dipende sempre dal tuo ambiente (ovviamente se le soluzioni basiche siano quelle che credo io), quindi quella potrebbe essere una soluzione basiche se sei in dimensione 1 , quindi in realtà dovresti avere una retta.

[ste868686]

"biggest":allora credo che intenda proprio quello che ti ho scritto. Se riesci a trovare le soluzioni che lui chiama "basiche", riesci a trovare tutte le altre come combinazione lineare delle soluzioni basiche.

scrivi la matrice associata al tuo sistema di riferimento e riducila in forma a scalini, i due vettori non nulli che ottieni sono una soluzione basica del tuo sistema.

Prova e fammi sapere.

Per quanto riguarda il tuo esempio, la soluzione basica dipende sempre dal tuo ambiente (ovviamente se le soluzioni basiche siano quelle che credo io), quindi quella potrebbe essere una soluzione basiche se sei in dimensione 1 , quindi in realtà dovresti avere una retta.

alla fine ho fatto in questo modo: ho preso tutti i minori di ordine 2, e ho visto solo 1 è ugale a 0 cioè quello che fa riferimetno a x2x4. Quindi ci sono 5 soluzioni basiche.

Per calcolare o si fa la forma canonica rispetto a 2 varibili , quindi x1x2, x2,x3, x1,x3, x1x4, x3x4 ( provandola a fare con x2x4 non si riesce a fare) e calcolo le varie soluzioni basiche.
Oppure ad esempio se voglio calcolare la soluzione basica usando x1 e x2 come variabili basiche, pongo x3 e x4 =0 e risolvo il problema. Così faccio anche per le altre.

Ho provato a usare entrambi metodi e mi vangono le stesse soluzioni, quindi penso di aver fatto bene, ti trovi???