Come si risale alla matrice conoscendo gli autospazi??
come faccio a trovare la matrice $ A in RR^(3 xx 3 ) $ avente autospazi
{ $ x in RR ^(3) $ : $ x_1 $ - 3$ x_2 $ - $ x_3 $ = 0} , $ (: | ( 1 ),( -3 ),( 1 ) | :) $
e tale che $ A^(2) $ = I (matrice identica) ??
{ $ x in RR ^(3) $ : $ x_1 $ - 3$ x_2 $ - $ x_3 $ = 0} , $ (: | ( 1 ),( -3 ),( 1 ) | :) $
e tale che $ A^(2) $ = I (matrice identica) ??
Risposte
a parte il fatto che ho sbagliato a scrivere il sistema che definisce il primo autospazio che in verità è: { $ x in RR ^(3) $ : $ x_1 $ - 3$ x_2 $ + $ x_3 $ = 0}, (penso che cambierà solo il risultato e non il ragionamento..) come faccio a giustificare rigorosamente i passaggi? o in uno scritto d'esame il procedimento che mi hai descritto può essere valido?
grazie in ogni caso per l'aiuto!!
grazie in ogni caso per l'aiuto!!
secondo me si tratta di risolvere un sistema mettendo insieme un pò gli elementi che hai... ci ho pensato un pò, non me ne vengono di meno contosi.
Potresti ad esempio sfruttare il fatto che la traccia di $D^2$ deve essere $3$, ed essendo $D$ diagonale hai somma di $a^2+b^2+c^2=3$, sai che sono tutti per forza non nulli, altrimenti $D$ sarebbe singolare ciò non è evidentemente possibile, oltre al fatto che non possono avere tutti valore $1$...
Potresti ad esempio sfruttare il fatto che la traccia di $D^2$ deve essere $3$, ed essendo $D$ diagonale hai somma di $a^2+b^2+c^2=3$, sai che sono tutti per forza non nulli, altrimenti $D$ sarebbe singolare ciò non è evidentemente possibile, oltre al fatto che non possono avere tutti valore $1$...
va bene questo esercizio mi è chiaro ora.. grazie 1000!!
ora ve ne vorrei proporre uno analogo.
stavolta gli autospazi sono: {$ x in RR ^3 $ : 2$ x_1 $ - 2$ x_2 $ + $ x_3 $ = 0} e $ (: ({: ( 2 ),( -2 ),( 1 ) :} ) :) $ e sappiamo che $ A^2 $ = A.
ovviamente $ A in RR^(3x3) $
trovati gli altri due autovettori che sono $ ( {: ( 1 ),( 1 ),( 0 ) :}) $ e $ ( {: ( 1 ),( 0 ),( -2 ) :}) $ ottengo la matrice degli autovettori B = $ ({: ( 1 , 1 , 2 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , -2 , 1 ) :}) $
quindi, chiamando D la matrice degli autovalori: A = BD$ B^-1 $
$ A^2 $ = A $ rArr $ BD$ B^-1 $BD$ B^-1 $ = BD$ B^-1 $ $ rArr $ $ D^2 $ = D
quindi gli autovalori che compongono D saranno tali che elevandoli al quadrato rimangono uguali. e gli unici due numeri che elevati al quadrato rimangono uguali sono 1 e 0.. è possibile ciò? o c'è una falla nel mio ragionamento?
ora ve ne vorrei proporre uno analogo.
stavolta gli autospazi sono: {$ x in RR ^3 $ : 2$ x_1 $ - 2$ x_2 $ + $ x_3 $ = 0} e $ (: ({: ( 2 ),( -2 ),( 1 ) :} ) :) $ e sappiamo che $ A^2 $ = A.
ovviamente $ A in RR^(3x3) $
trovati gli altri due autovettori che sono $ ( {: ( 1 ),( 1 ),( 0 ) :}) $ e $ ( {: ( 1 ),( 0 ),( -2 ) :}) $ ottengo la matrice degli autovettori B = $ ({: ( 1 , 1 , 2 ),( 1 , 0 , -2 ),( 0 , -2 , 1 ) :}) $
quindi, chiamando D la matrice degli autovalori: A = BD$ B^-1 $
$ A^2 $ = A $ rArr $ BD$ B^-1 $BD$ B^-1 $ = BD$ B^-1 $ $ rArr $ $ D^2 $ = D
quindi gli autovalori che compongono D saranno tali che elevandoli al quadrato rimangono uguali. e gli unici due numeri che elevati al quadrato rimangono uguali sono 1 e 0.. è possibile ciò? o c'è una falla nel mio ragionamento?
Per me è giusto bord 89!:-)
grazie andrea990.. 
ma allora può essere che tutti gli autovalori siano 1 anche se sono generati da due autospazi diversi??
ma allora può essere che tutti gli autovalori siano 1 anche se sono generati da due autospazi diversi??
Anche la matrice $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))^2$ è uguale a se stessa... (se non ho sbagliato i calcoli)
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