Come si prova se una Matr è FCR?

[lemming78]

Ciao a tutti, questa è la domanda: come si prova se una matrice è rango colonna pieno? Cioè, come provo che tutti i vettori colonna siano linearmente indipendenti?

Ho anche un esercizio di econometria che mi chiede di provare che se $X$ è rango colonna pieno, allora $M_[x1]X_2$ è anch'essa fcr.

$M_[x1] = I - x_1(x_1'x_1)^-1x_1'$

[lemming78]

"Sergio":[quote="lemming78"]Ciao a tutti, questa è la domanda: come si prova se una matrice è rango colonna pieno? Cioè, come provo che tutti i vettori colonna siano linearmente indipendenti?

In teoria è facile: usi il metodo di eliminazione di Gauss, oppure il criterio dei minori.
In pratica, se ti muovi in ambito econometrico, la faccenda si complica semplicemente perché hai a che fare con matrici normalmente piuttosto grandi. Alla fine, più che "prove" in senso matematico, si cercano algoritmi che semplifichino i calcoli.
Un possibile punto di partenza può essere un fatto che è utile anche per la seconda domanda: se \(A\) è una matrice \(n\times k\) di rango \(k\) (quindi a rango colonna pieno), è di rango \(k\) anche la matrice \(A'A\), che è \(k\times k\).
Questo perché, in generale, se \(B\) è una matrice a rango pieno lo è anche \(AB\), cioè perché la moltiplicazione per una matrice a rango pieno non altera il rango.
Si tratta poi si trovare il rango di \(A'A\), che è quadrata. Normalmente lo si fa con una scomposizione QR.

"lemming78":Ho anche un esercizio di econometria che mi chiede di provare che se $X$ è rango colonna pieno, allora $M_[x1]X_2$ è anch'essa fcr.

Qui la notazione non mi è chiara.
Sembrerebbe che \(M_{x_1}\) è la matrice che, moltiplicata per i valori osservati, dà i residui, ma non capisco allora cosa è \(X_2\).
Inoltre, mentre la matrice \(A(A'A)^{-1}A'\) ha lo stesso rango di \(A\) (per quanto dicevo sopra), \(I-A(A'A)^{-1}A'\) non ha lo stesso rango. Controesempio facile:
\(A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\) ha rango 2
\(I-A=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) ha rango 1[/quote]


Sergio, innanzitutto grazie per la risposta e complimenti per il tuo "sapere", nel forum sei praticamente ovunque...
Comunque la notazione è corretta. Il teorema di Frisch-Waught-Lovell è la base. In pratica fai una regressione di $X_2$ su $X_1$ e ne calcoli i residui. Sinceramente anche io ho problemi ancora nel capire bene questa cosa perchè ragiono così. I vettori colonna delle $X$ mi creano uno spazio $R(X)$ su cui si "poggiano". Se utilizzo $M$ sto cercando una proiezione su un sottospazio in pratica ortogonale a quello in cui mi trovo, cioè quello delle $X$. Mentre per i residui $e$ mi ritrovo, una regressione di questo tipo è più complicata da capire.
Ma, mentre scrivo tutto questo mi viene il dubbio che basti dirti che la $X_2$ è la seconda partizione di $X$. Essa infatti è partizionata in $[X_1 X_2]$

[lemming78]

non ho avuto modo di ringraziarti... sei stato utilissimo. Grazie!