Come si dimostra che un sistema di generatori è finito?
Salve a tutti!Scusate se sto sommergendo il forum di miei thread ma ho proprio bisogno di una mano. Vorrei sapere come si dimostra che un sistema di generatori è di tipo finito. In particolare avrei da sottoporvi questo esercizio:
Si provi che $F_w$ è di tipo finito (è $F_w = < sen wt, cos wt>$).
Non so proprio dove mettere le mani
Spero in qualche vostro consiglio..grazie ancora a tutti per le eventuali risposte!
Si provi che $F_w$ è di tipo finito (è $F_w = < sen wt, cos wt>$).
Non so proprio dove mettere le mani
Spero in qualche vostro consiglio..grazie ancora a tutti per le eventuali risposte!
Risposte
Riporta esattamente tutto il testo dell'esercizio...
Il testo dell'esercizio è riportato per intero e correttamente: "si provi che Fw è di tipo finito (è Fw=)". Non aggiunge altro.
Non si capisce il testo. Ti saremmo grati se fissassi le notazioni, che trovi sicuramente nel testo qualche riga sopra l'enunciato dell'esercizio. Per esempio:
Stiamo parlando di spazi vettoriali? (Immagino di sì)
Qual è il campo base?
Dove varia [tex]w[/tex]? E' costante?
Dove varia [tex]t[/tex]? E' costante?
Cosa significa "di tipo finito"?
Se "di tipo finito" significa "finitamente generato" (come spazio vettoriale?) allora se [tex]t,w[/tex] sono fissati (cioè costanti) il tuo [tex]F_w[/tex] è di tipo finito perché generato dai 2 (due) elementi [tex]\sin wt[/tex], [tex]\cos wt[/tex]. Ma probabilmente [tex]t[/tex] varia in qualche insieme... che insieme?
Stiamo parlando di spazi vettoriali? (Immagino di sì)
Qual è il campo base?
Dove varia [tex]w[/tex]? E' costante?
Dove varia [tex]t[/tex]? E' costante?
Cosa significa "di tipo finito"?
Se "di tipo finito" significa "finitamente generato" (come spazio vettoriale?) allora se [tex]t,w[/tex] sono fissati (cioè costanti) il tuo [tex]F_w[/tex] è di tipo finito perché generato dai 2 (due) elementi [tex]\sin wt[/tex], [tex]\cos wt[/tex]. Ma probabilmente [tex]t[/tex] varia in qualche insieme... che insieme?
Ho lo stesso testo di Lory 91. A dire il vero è una dispensa. Prima dell'esercizio non è definito nè $\omega$ nè $t$. Riguardo al "tipo finito" l'autore scrive:
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ (con $K$ uguale a $RR$ o $CC$ ); se esiste un insieme finito ${ v_1, ..., v_p}$ di suoi elementi tale che $V= $ ossia tale che ogni elemento di V sia combinazione lineare di $v_1,...,v_p$, allora:
i) $V$ si dice di tipo finito;
ii) ${v_1,...,v_p}$ si dice un sistema (o insieme) di generatori di V.
In seguito è riportato l'esercizio in questione, il cui testo integrale è stato già riportato da Lory 91. Non ci sono altri dettagli da aggiungere. Comunque, si sta parlando di spazi temporali di tipo finito (come recita il titolo del paragrafo di cui vi ho riportato il testo). Spero possa esservi d'aiuto...
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ (con $K$ uguale a $RR$ o $CC$ ); se esiste un insieme finito ${ v_1, ..., v_p}$ di suoi elementi tale che $V=
i) $V$ si dice di tipo finito;
ii) ${v_1,...,v_p}$ si dice un sistema (o insieme) di generatori di V.
In seguito è riportato l'esercizio in questione, il cui testo integrale è stato già riportato da Lory 91. Non ci sono altri dettagli da aggiungere. Comunque, si sta parlando di spazi temporali di tipo finito (come recita il titolo del paragrafo di cui vi ho riportato il testo). Spero possa esservi d'aiuto...
Non è possibile che il testo di un esercizio sia
"Si provi che [tex]\langle \sin(w t),\cos(w t) \rangle[/tex] è di tipo finito".
Davvero, non è possibile. I simboli non definiti in matematica non significano niente.
Mi dispiace, ma credo di parlare per tutti nel dire che finché non specificate dove variano [tex]t,w[/tex] non potrete ricevere nessuna risposta. Potrebbe essere una buona idea postare qui una scansione delle pagine della vostra dispensa che includono questo esercizio, o se ce n'è una versione elettronica, postarne il link.
"Si provi che [tex]\langle \sin(w t),\cos(w t) \rangle[/tex] è di tipo finito".
Davvero, non è possibile. I simboli non definiti in matematica non significano niente.
Mi dispiace, ma credo di parlare per tutti nel dire che finché non specificate dove variano [tex]t,w[/tex] non potrete ricevere nessuna risposta. Potrebbe essere una buona idea postare qui una scansione delle pagine della vostra dispensa che includono questo esercizio, o se ce n'è una versione elettronica, postarne il link.
Purtroppo il testo dell'esercizio è proprio quello. Non ho omesso nemmeno una virgola nè della parte precedente all'esercizio, nè nella traccia dell'esercizio stesso. Posso allegare anche una scansione della pagina (visto che la dispensa è scritta a mano e non esiste una versione elettronica) a scanso di equivoci. Inoltre, neanche nelle pagine precedenti vi è alcuna definzione di $F$ oppure di $\omega$ e $t$. Ecco la scansione:
Mi pare che nel foglio dietro ci sia una definizione di [tex]F_w[/tex], o sbaglio?
Ma non riesco a leggerla bene, cosa c'è scritto?
L'ho cerchiata in rosso qui:
Ma non riesco a leggerla bene, cosa c'è scritto?
L'ho cerchiata in rosso qui:
Riguarda un esercizio del precedente capitolo. Personalmente non lo avevo ancora affrontato. Cita così:
Sia $w>0$, $F_w= {Asen(wt +\varphi)|A\geq0, \varphi in RR}$; $F_w$ è sottospazio si $F(RR, RR)$. Dedurre il grafico di $Asen(wt + \varphi)$ dal grafico di $senwt$.
Può essere che sia riferito anche al problema in questione?
Sia $w>0$, $F_w= {Asen(wt +\varphi)|A\geq0, \varphi in RR}$; $F_w$ è sottospazio si $F(RR, RR)$. Dedurre il grafico di $Asen(wt + \varphi)$ dal grafico di $senwt$.
Può essere che sia riferito anche al problema in questione?
Sì certo, la definizione di [tex]F_w[/tex] è quella!
La scritta tra parentesi
"(è [tex]F_w = \langle \sin(wt),\cos(wt) \rangle[/tex])"
NON è la definizione di [tex]F_w[/tex], è solo un suggerimento per giungere alla soluzione.
Riassumendo, [tex]F_w[/tex] era stato definito nella pagina prima (!). Non potevate fare un po' più di attenzione?
Ciao.
La scritta tra parentesi
"(è [tex]F_w = \langle \sin(wt),\cos(wt) \rangle[/tex])"
NON è la definizione di [tex]F_w[/tex], è solo un suggerimento per giungere alla soluzione.
Riassumendo, [tex]F_w[/tex] era stato definito nella pagina prima (!). Non potevate fare un po' più di attenzione?
Ciao.
In ogni caso, come si dimostra che è di tipo finito? Comunque, la struttura assolutamente disorganizzata della dispensa non aiuta affatto nello studio della materia: non è possibile inserire definizione negli esercizi perché non è detto che lo studente faccia tutti gli esercizi proposti. O almeno, l'autore avrebbe potuto mettervi almeno un riferimento.
Grazie per l'aiuto comunque..
Grazie per l'aiuto comunque..
In realtà mi trovo in discreto disaccordo con quello che dici: non serve aver fatto l'esercizio alla pagina prima, serve solo averle dato uno sguardo. In generale se compare una notazione che non hai mai visto ti dovrebbe venire in mente che è stata introdotta in precedenza. E' sempre così: in matematica le notazioni vengono fissate prima di usarle.
Per quanto riguarda l'esercizio, lo si risolve semplicemente applicando la formula
\[
\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y).
\]
Per quanto riguarda l'esercizio, lo si risolve semplicemente applicando la formula
\[
\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y).
\]
In tutti i libri di matematica che ho avuto, le definizioni e le varie notazioni erano sempre inserite nella parte teorica: non ho mai trovato definizioni all'interno degli esercizi e, se c'erano, vi era sempre un rimando alla parte in cui era introdotta la definizione. A parte questa mia diciamo leggerezza, non ho ancora capito come dimostrare che lo spazio vettoriale sia finito. Abbi pazienza perché ho iniziato a studiare questa materia da pochi giorni e mi è ancora un pò ostica...
"Lory_91":Anche qui, c'è una notazione non chiarita, che è [tex]F(\mathbb{R},\mathbb{R})[/tex], tuttavia si intuisce che si tratti dell'insieme delle funzioni [tex]\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex], con la struttura ovvia di spazio vettoriale (cf. la dispensa, dove definisce [tex]F(\mathbb{R},\mathbb{R})[/tex]).
Sia $w>0$, $F_w= {Asen(wt +\varphi)|A\geq0, \varphi in RR}$; $F_w$ è sottospazio si $F(RR, RR)$.
Ora, un elemento di [tex]F_w[/tex] è del tipo
\[
\mathbb{R} \ni t \mapsto A \sin(wt+\varphi) = A \sin(wt) \cos(\varphi) + A \cos(wt) \sin(\varphi)
\]
Questo dice che ogni elemento di [tex]F_w[/tex] è combinazione lineare dei seguenti due elementi di [tex]F_w[/tex]:
[tex]t \mapsto \sin(wt)[/tex],
[tex]t \mapsto \cos(wt)[/tex].
Quindi questi due elementi generano [tex]F_w[/tex], quindi [tex]F_w[/tex] è finitamente generato.
Non riesco ad essere più chiaro di così. Se ancora non vi torna vi prego di riflettere a lungo, non sono cose che si capiscono in due secondi.
Ciao
Quindi, dato che gli elementi di $F_w$ sono combinazione lineare di quei due elementi allora posso dire che l'inseme è finito..ho compreso ciò che hai scritto ma non so se riuscirò a confrontarmi con altri esercizi. Ci rifletterò su. Grazie mille per la risposta.
"Lory_91":Non so cos'hai capito, ma il punto è questo: un insieme di due elementi è finito, perché 2 (due) è un numero finito. Questo spero che sia ovvio.
Quindi, dato che gli elementi di $F_w$ sono combinazione lineare di quei due elementi allora posso dire che l'inseme è finito..
Non è [tex]F_w[/tex] che è finito, [tex]F_w[/tex], essendo uno spazio vettoriale reale (o complesso), è infinito.
E' l'insieme [tex]\{ t \mapsto \sin(wt),\ t \mapsto \cos(wt)\}[/tex] ad essere finito. E il motivo per cui è finito è che ha esattamente due elementi, e due è un numero finito.
Si si avevo capito proprio questo:) Grazie
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