Com'è fatto $U(2)$?
Sono in difficoltà nel mostrare che l'applicazione
$SU(2)\times U(1) \to U(2)$
definita come
$(A,z)\mapsto A\cdot ((z,0),(0,1))$
è un omeomorfismo. Per mostrarne la suriettività mi servirebbe una qualche informazione su com'è fatto $U(2)$: per esattezza mi servirebbe capire se un modo rapido e pulito di risolvere il problema sia trovare un omeomorfismo tra $\mathbb{S}^4$ ed $U(2)$: dato che $SU(2)\times U(1)$ è omeomorfo a $\mathbb{S}^3\times \mathbb{S}^1$ sarebbe fatta. Il problema è: per $SU(2)$ c'è una descrizione piuttosto classica, ma per i gruppi unitari semplici?
$SU(2)\times U(1) \to U(2)$
definita come
$(A,z)\mapsto A\cdot ((z,0),(0,1))$
è un omeomorfismo. Per mostrarne la suriettività mi servirebbe una qualche informazione su com'è fatto $U(2)$: per esattezza mi servirebbe capire se un modo rapido e pulito di risolvere il problema sia trovare un omeomorfismo tra $\mathbb{S}^4$ ed $U(2)$: dato che $SU(2)\times U(1)$ è omeomorfo a $\mathbb{S}^3\times \mathbb{S}^1$ sarebbe fatta. Il problema è: per $SU(2)$ c'è una descrizione piuttosto classica, ma per i gruppi unitari semplici?
Risposte
Io vorrei soltanto chiedere una cosa ai moderatori: perché non riesco a leggere alcuni simboli? $\mathbb{S}$ per esempio non riesco a leggerlo.
"pat87":
Io vorrei soltanto chiedere una cosa ai moderatori: perché non riesco a leggere alcuni simboli? $\mathbb{S}$ per esempio non riesco a leggerlo.
Non è un problema nuovo. Dipende dall'integrazione tra MathML e il browser usato. Se usi Safari o IE lo vedi bene, ma con Safari e IE non vedi i gradi.
Giusto, con Firefox 3.5 mi dà questo problema, mentre con Explorer 8 no.
Per killing buddha: non ho bene in chiaro perché $S^4$ e $S^3 \times S^1$ dovrebbero essere omeomorfi. Sei sicuro?
Per killing buddha: non ho bene in chiaro perché $S^4$ e $S^3 \times S^1$ dovrebbero essere omeomorfi. Sei sicuro?
Considero l'azione di $U(2)$ sulla sfera $S^3$ in $CC^2$. L'azione è transitiva e per ogni $x \in S^3$ lo stabilizzatore di $x$ è isomorfo a $U(1)$. Le matrici con autovalore $1$ e autovettore $x$ sono infatti matrici che dipendono solo da un parametro $|\lambda| = 1$. Per un famoso teorema sui gruppi di Lie si può a questo punto affermare che $SU(2) = S^3$ è lo spazio omogeneo $(U(2))/(U(1))$. Diversamente puoi provare il teorema in questo caso particolare.
P.S. Nota che $S^4$ e $S^3 \times S^1$ non sono omeomorfi e non sono certo che la corrispondenza scritta valga globalmente o solo localmente.
P.S. Nota che $S^4$ e $S^3 \times S^1$ non sono omeomorfi e non sono certo che la corrispondenza scritta valga globalmente o solo localmente.
[OT]
Scusate se mi intrometto, ma gli $U(2)$ non sono in concerto a Milano domani sera?
[size=59]Non ho resistito... E pensare che non mi piacciono nemmeno![/size]
[/OT]
Scusate se mi intrometto, ma gli $U(2)$ non sono in concerto a Milano domani sera?
[size=59]Non ho resistito... E pensare che non mi piacciono nemmeno![/size]
[/OT]
"pat87":
Non ho bene in chiaro perché $S^4$ e $S^3 \times S^1$ dovrebbero essere omeomorfi. Sei sicuro?
No, assolutamente no. Un lapsus vergognoso
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo